Что такое топология? Что понимается под топологией локальной сети. Топология компьютерных сетей: шина, звезда, кольцо, активное дерево, пассивное дерево Теорема Жордана о замкнутой кривой

Термин «топология» имеет достаточно много значений, одно из которых применяется в компьютерном мире для описания сетей. Что такое топология далее и будет рассмотрено. Но, несколько забегая вперед, в самом простом случае это понятие можно рассматривать как описание конфигурации (расположения) компьютеров, подключенных к сети. Иными словами, все сводится к пониманию даже не самих соединений, а геометрических фигур, которые соответствуют каждому типу расположения терминалов.

Что понимается под топологией локальной сети?

Как уже понятно, компьютеры, объединяемые в единые сети, подключаются к ним не хаотично, а в строго определенном порядке. Для описания этой схемы и было введено понимание топологии.

По сути, что такое топология? Карта, схема, диаграмма, карта. Описательный процесс, как уже понятно, в чем-то сродни элементарным знаниям по геометрии. Однако только чисто с геометрической точки зрения этот термин рассматривать нельзя. Поскольку речь идет не только о подключениях, а еще и о передаче информации, в связи с этим следует учитывать и этот фактор.

Основные виды сетей и их топологий

Вообще, единого понятия компьютерной топологии не существует. Принято считать, что может быть несколько видов топологий, в совокупности описывающих ту или иную организацию сети. Собственно, и сети могут быть совершенно разными.

Например, самой простой формой организации соединения нескольких компьютерных терминалов в единое целое можно назвать локальную сеть. Существуют еще промежуточные типы сетей (городские, региональные и т. д.).

Наконец, самыми большим являются глобальные сети, которые затрагивают большие географические регионы и включают в себя все остальные типы сетей, а также компьютеры и телекоммуникационное оборудование.

Но что понимается под топологией локальной сети, как одной из самых простых форм организации соединения нескольких компьютеров между собой, в данном случае?

По признаку описываемых процессов и структур их разделяют на несколько типов:

• физическая - описание реально существующей структуры расположения компьютеров и узлов сети с учетом связей между ними;
• логическая - описание прохождения сигнала по сети;
• информационная - описание движения, направления и перенаправления данных внутри сети;
• управление обменом - описание принципа использования или передачи прав на пользование сетью.

Топология сети: типы

Теперь несколько слов об общепринятой классификации типов топологий по связям. В контексте того, что такое топология, отдельно стоит отметить еще один тип классификации, описывающий исключительно способ подключения компьютера к сети или принципа его взаимодействия с другими терминалами или основными узлами. В этом случае актуальными становятся понятия полносвязанной и неполносвязанной топологий.

Полносвязанная структура (и это признано во всем мире) является чрезвычайно громоздкой по причине того, что каждый единичный терминал, входящий в единую сетевую структуру, связан со всеми остальными. Неудобство в данном случае заключается в том, что для каждого компьютера необходимо устанавливать дополнительное оборудование связи, а сам терминал должен быть оснащен достаточно большим количеством коммуникационных портов. И как правило, такие структуры если и применяются, то крайне редко.

Неполносвязанная топология в этом плане выглядит намного предпочтительнее, поскольку каждый отдельно взятый терминал не соединяется со всеми остальными компьютерами, а получает или передает информацию через определенные сетевые узлы или обращается напрямую к центральному концентратору или хабу. Яркий тому пример - топология сети «звезда».

Поскольку речь зашла об основных методах объединения терминалов в единое целое (сеть), следует остановиться на основных топологиях всех основных типов, среди которых главными являются «шина», «звезда» и «кольцо», хотя существуют и некоторые смешанные типы.

Топология сети «шина» (bus)

Данный тип объединения терминалов в сеть является достаточно популярным, хотя и имеет весьма серьезные недостатки.

Рассмотреть, что собой представляет топология «шина», можно на простом примере. Представьте себе кабель с несколькими ответвлениями по обе стороны. На конце каждого такого ответвления находится компьютерный терминал. Между собой они напрямую не связаны, а информацию получают и передают через единую магистраль, на обоих концах которой установлены специальные терминаторы, препятствующие отражению сигнала. Это стандартная линейная топология сети.

Преимущество такого соединения состоит в том, что длина основной магистрали существенно уменьшается, и выход единичного терминала из строя на работу сети в целом не оказывает никакого влияния. Главным же недостатком является то, что при нарушениях в работе самой магистрали, неработоспособной оказывается вся сеть. К тому же топология «шина» ограничена в количестве подключаемых рабочих станций и обладает достаточно низкой производительностью ввиду распределения ресурсов между всеми терминалами в сети. Распределение может равномерным или неравномерным.

Топология «звезда» (star)

Топология сети «звезда» в некотором смысле напоминает «шину», с той лишь разницей, что подключение всех терминалов производится не к единой магистрали, а к центральному распределительному устройству (концентратор, хаб).

Как раз через концентратор все компьютеры могут взаимодействовать между собой. Информация передается с хаба на все устройства, но принимается, только теми, которым она предназначается. К преимуществам такого подключения относят возможность всеми терминалами сети, а также подключение новых. Однако, как и в случае с «шиной», выход из строя центрального коммутирующего устройства чреват последствиями для всей сети.

Топология «кольцо» (ring)

Наконец, перед нами еще один тип соединения - кольцевая топология сети. Как, наверное, уже понятно из названия, подключение компьютеров осуществляется последовательно от одного к другому через промежуточные узлы, в результате чего и образуется замкнутый круг (естественно, круг в данном случае - понятие условное).

При передаче информация из начальной точки проходит через все терминалы, которые стоят перед конечным получателем. Но распознавание конечного бенефициара производится на основе маркерного доступа. То есть информацию получает только помеченный в информационном потоке терминал. Такая схема практически нигде не используется в силу того, что выход из строя одного компьютера автоматически влечет за собой нарушение в работе всей сети.

Ячеистая и смешанная топология

Этот тип подключений можно получить, если убрать из вышеприведенных соединений некоторые связи или добавить их дополнительно. В большинстве случаев такая схема используется в крупных сетях.

В связи с этим можно определить несколько основных производных. Самыми распространенными считаются схемы типа «двойное кольцо», «дерево», «решетка», «снежинка», «сеть Клоза» и т. д. Как можно видеть даже из названий, все это вариации на тему основных видов соединений, которые и взяты за основу.

Есть еще и смешанный тип топологии, который может объединять в себе несколько других (подсети), сгруппированных по каким-то характерным признакам.

Заключение

Теперь уже, наверное, понятно, что такое топология. Если сделать некий общий итог, данное понятие представляет собой описание способов соединения компьютеров в сети и взаимодействия между ними. Как это производится, зависит исключительно от метода объединения терминалов в одно целое. И сказать, что сегодня можно выделить какой-то один универсальный вариант подключения, нельзя. В каждом конкретном случае и в зависимости от нужд может использоваться тот или иной тип подключений. Но в локальных сетях, если говорить именно о них, наиболее распространенной является схема «звезда», хотя и «шина» все еще используется достаточно широко.

Остается добавить, что в можно встретить еще понятия централизации и децентрализации, но они большей частью связаны не с подключениями, а с системой управления сетевыми терминалами и осуществлением контроля над ними. Централизация явно выражена в подключениях типа «звезда», но для этого типа применима и децентрализация, обеспечивающая ввод дополнительных элементов с целью повышения надежности сети при выходе центрального коммутатора из строя. Достаточно эффективной разработкой в этом плане является схема «гиперкуб», однако она весьма сложна в разработке.

Под топологией (компоновкой, конфигурацией, структурой) компьютерной сети обычно понимается физическое расположение компьютеров сети один относительно одного и способ соединения их линиями связи. Важно отметить, что понятие топологии относится, в первую очередь, к локальным сетям, в которых структуру связей можно легко проследить. В глобальных сетях структура связей обычно спрятана от пользователей не слишком важная, потому что каждый сеанс связи может выполняться по своему собственному пути.
Топология определяет требования к оборудованию, тип используемого кабеля, возможные и наиболее удобные методы управления обменом, надежность работы, возможности расширения сети.

Существует три основные топология сети:

1. Сетевая топология шина (bus), при которой все компьютеры параллельно подключаются к одной линии связи и информация от каждого компьютера одновременно передается всем другим компьютерам (рис. 1);

2. Cетевая топология звезда (star), при которой к одному центральному компьютеру присоединяются другие периферийные компьютеры, причем каждый из них использует свою отдельную линию связи (рис. 2);

3. Cетевая топология кольцо (ring), при которой каждый компьютер передает информацию всегда только одному компьютеру, следующему в цепочке, а получает информацию только от предыдущего компьютера в цепочке, и эта цепочка замкнута в «кольцо» (рис. 3).

Рис. 1. Сетевая топология «шина»

Рис. 2. Сетевая топология «звезда»

Рис. 3. Сетевая топология «кольцо»

На практике нередко используют и комбинации базовой топологии, но большинство сетей ориентированные именно на этих три. Рассмотрим теперь коротко особенности перечисленной сетевой топологии.

Топология «шина» (или, как ее еще называют, «общая шина») самой своей структурой допускает идентичность сетевого оборудования компьютеров, а также равноправие всех абонентов. При таком соединении компьютеры могут передавать только по очереди, потому что линия связи единственная. В противном случае переданная информация будет искажаться в результате наложения (конфликту, коллизии). Таким образом, в шине реализуется режим полудуплексного (half duplex) обмена (в обоих направлениях, но по очереди, а не одновременно).
В топологии «шина» отсутствует центральный абонент, через которого передается вся информация, которая увеличивает ее надежность (ведь при отказе любого центра перестает функционировать вся управляемая этим центром система). Добавление новых абонентов в шину достаточно простое и обычно возможно даже во время работы сети. В большинстве случаев при использовании шины нужно минимальное количество соединительного кабеля по сравнению с другой топологией. Правда, нужно учесть, что к каждому компьютеру (кроме двух крайних) подходит два кабеля, что не всегда удобно.
Потому что разрешение возможных конфликтов в этом случае ложится на сетевое оборудование каждого отдельного абонента, аппаратура сетевого адаптера при топологии «шина» выходит сложнее, чем при другой топологии. Однако через широкое распространение сетей с топологией «шина» (Ethernet, Arcnet) стоимость сетевого оборудования выходит не слишком высокой.
Шине не страшные отказы отдельных компьютеров, потому что все другие компьютеры сети могут нормально продолжать обмен. Может показаться, что шине не страшный и обрыл кабелю, поскольку в этом случае мы одержимо две полностью работоспособных шины. Однако через особенности распространения электрических сигналов по длинным линиям связи необходимо предусматривать включение на концах шины специальных устройств – терминаторов, показанных на рис. 1 в виде прямоугольников. Без включения терминаторов сигнал отражается от конца линии и искажается так, что связь по сети становится невозможной. Так что при разрыве или повреждении кабеля нарушается согласование линии связи, и прекращается обмен даже между теми компьютерами, которые остались соединенными между собой. Короткое замыкание в любой точке кабеля шины выводит из строя всю сеть. Любой отказ сетевого оборудования в шине очень трудно локализовать, потому что все адаптеры включены параллельно, и понять, который из них вышел из строя, не так-то просто.
При прохождении по линии связи сети с топологией «шина» информационные сигналы ослабляются и никак не возобновляются, что налагает твердые ограничения на суммарную длину линий связи, кроме того, каждый абонент может получать из сети сигналы разного уровня в зависимости от расстояния к передаточному абоненту. Это выдвигает дополнительные требования к приемным узлам сетевого оборудования. Для увеличения длины сети с топологией «шина» часто используют несколько сегментов (каждый из которых являет собой шину), соединенных между собой с помощью специальных обновителей сигналов - репитеров.
Однако такое наращивание длины сети не может длиться бесконечно, потому что существуют еще и ограничения, связанные с конечной скоростью распространения сигналов по линиям связи.

Топология «Звезда» - это топология с явно выделенным центром, к которому подключаются все другие абоненты. Весь обмен информацией идет исключительно через центральный компьютер, на который таким способом ложится очень большая нагрузка, потому ничем другим, кроме сети, оно заниматься не может. Понятно, что сетевое оборудование центрального абонента должно быть существенно больше сложным, чем оборудование периферийных абонентов. О равноправии абонентов в этом случае говорить не придется. Как правило, именно центральный компьютер является самим мощным, и именно на него возлагают все функции по управлению обменом. Никакие конфликты в сети с топологией «звезда» в принципе невозможные, потому что управление полностью централизовано, конфликтовать нет почему.
Если говорить о стойкости звезды к отказам компьютеров, то выход из строя периферийного компьютера никак не отражается на функционировании части сети, которая осталась, зато любой отказ центрального компьютера делает сеть полностью неработоспособной. Поэтому должны приниматься специальные мероприятия по повышению надежности центрального компьютера и его сетевой аппаратуры. Обрыл любого кабеля или короткое замыкание в нем при топологии «звезда» нарушает обмен только с одним компьютером, а все другие компьютеры могут нормально продолжать работу.
На склонение от шины, в звезде на каждой линии связи находятся только два абонента: центральный и один из периферийных. Чаще всего для их соединения используется две линии связи, каждая из которых передает информацию только в одном направлении. Таким образом, на каждой линии связи есть только один приемник и один передатчик. Все это существенно упрощает сетевое установление в сравнении с шиной и спасает от необходимости применение дополнительных внешних терминаторов. Проблема затухания сигналов в линии связи также решается в «звезде» проще, чем в «шине», ведь каждый приемник всегда получает сигнал одного уровня. Серьезный недостаток топологии «звезда» складывается в жестком ограничении количества абонентов. Обычно центральный абонент может обслуживать не больше 8-16 периферийных абонентов. Если в этих пределах подключения новых абонентов достаточно просто, то при их превышении оно просто невозможно. Правда, иногда в звезде предусматривается возможность наращивания, то есть подключение вместо одного из периферийных абонентов еще одного центрального абонента (в итоге выходит топология из нескольких соединенных между собой звезд).
Звезда, показанная на рис. 2, зовется активной, или настоящей звезды. Существует также топология, которая называется пассивной звездой, что только внешне похожая на звезду (рис. 4). В это время она распространена намного больше, чем активная звезда. Достаточно сказать, что она используется в самой популярной на сегодняшний день сети Ethernet.

Рис. 4. Топология «пассивная звезда»

В центре сети с данной топологией содержится не компьютер, а концентратор, или хаб (hub), что выполняет ту же функцию, что и репитер. Он возобновляет сигналы, которые поступают, и пересылает их в другие линии связи. Хотя схема прокладки кабелей подобна настоящей или активной звезде, фактически мы имеем дело с шинной топологией, потому что информация от каждого компьютера одновременно передается ко всем другим компьютерам, а центрального абонента не существует. Естественно, пассивная звезда выходит дороже обычной шины, потому что в этом случае обязательно нужно еще и концентратор. Однако она предоставляет целый ряд дополнительных возможностей, связанных с преимуществами звезды. Именно поэтому в последнее время пассивная звезда все больше вытесняет настоящую звезду, которая считается малоперспективной топологией.
Можно выделить также промежуточный тип топологии между активной и пассивной звездой. В этом случае концентратор не только ретранслирует сигналы, но и делает управление обменом, однако сам в обмене не принимает участие.
Большое преимущество звезды (как активной, так и пассивной) заключается в том, что все точки подключения собраны в одном месте. Это позволяет легко контролировать работу сети, локализовать неисправности сети путем простого отключения от центра тех или других абонентов (что невозможно, например, в случае шины), а также ограничивать доступ посторонних лиц к жизненно важному для сети точкам подключения. К каждому периферийному абоненту в случае звезды может подходить как один кабель (по которому идет передача в обоих направлениях), так и два кабеля (каждый из них передает в одном направлении), причем вторая ситуация встречается чаще. Общим недостатком для всей топологии типа «звезда» значительно больше, чем при другой топологии, затрата кабеля. Например, если компьютеры расположены в одну линию (как на рис. 1), то при выборе топологии «звезда» понадобится в несколько раз больше кабеля, чем при топологии «шина». Это может существенно повлиять на стоимость всей сети в целом.

Топология «Кольцо» – это топология, в которой каждый компьютер соединен линиями связи только с двумя другими: от одного он только получает информацию, а другому только передает. На каждой линии связи, как и в случае звезды, работает только один передатчик и один приемник. Это позволяет отказаться от применения внешних терминаторов. Важна особенность кольца заключается в том, что каждый компьютер ретранслирует (возобновляет) сигнал, то есть выступает в роли репитера, потому затухание сигнала во всем кольце не имеет никакого значения, важно только затухание между соседними компьютерами кольца. Четко выделенного центра в этом случае нет, все компьютеры могут быть одинаковыми. Однако достаточно часто в кильке выделяется специальный абонент, который управляет обменом или контролирует обмен. Понятно, что наличие такого управляющего абонента снижает надежность сети, потому что выход его из строя сразу же парализует весь обмен.
Строго говоря, компьютеры в кильке не являются полностью равноправными (в отличие, например, от шинной топологии). Одни из них обязательно получают информацию от компьютера, который ведет передачу в этот момент, раньше, а другие – позже. Именно на этой особенности топологии и строятся методы управления обменом по сети, специально рассчитанные на «кольцо». В этих методах право на следующую передачу (или, как еще говорят, на захвата сети) переходит последовательно к следующему по кругу компьютеру.
Подключение новых абонентов в «кольцо» обычно совсем безболезненно, хотя и требует обязательной остановки работы всей сети на время подключения. Как и в случае топологии «шина», максимальное количество абонентов в кильке может быть достаточно большая (до тысячи и больше). Кольцевая топология обычно является самой стойкой к перегрузкам, она обеспечивает уверенную работу с самими большими потоками переданной по сети информации, потому что в ней, как правило, нет конфликтов (в отличие от шины), а также отсутствует центральный абонент (в отличие от звезды).
Потому что сигнал в кильке проходит через все компьютеры сети, выход из строя хотя бы одного из них (или же его сетевого встановление) нарушает роботу всей сети в целом. Точно так же любой обрыв или короткое замыкание в каждом из кабелей кольца делает работу всей сети невозможной. Кольцо наиболее уязвимо к повреждениям кабеля, потому в этой топологии обычно предусматривают прокладку двух (или больше) параллельных линий связи, одна из которых находится в резерве.
В то же время большое преимущество кольца заключается в том, что ретрансляция сигналов каждым абонентом позволяет существенно увеличить размеры всей сети в целом (временами до нескольких десятков километров). Кольцо относительно этого существенно превосходит любую другую топологию.

Недостатком кольца (в сравнении со звездой) можно считать то, что к каждому компьютеру сети необходимо подвести два кабеля.

Иногда топология «кольцо» выполняется на основе двух кольцевых линий связи, которые передают информацию в противоположных направлениях. Цель подобного решения – увеличение (в идеале вдвое) скорости передачи информации. К тому же при повреждении одного из кабелей сеть может работать с другим кабелем (правда, предельная скорость уменьшится).
Кроме трех рассмотренной основной, базовой топологии нередко применяется также сетевая топология «дерево» (tree), которую можно рассматривать как комбинацию нескольких звезд. Как и в случае звезды, дерево может быть активным, или настоящим (рис. 5), и пассивным (рис. 6). При активном дереве в центрах объединения нескольких линий связи находятся центральные компьютеры, а при пассивном - концентраторы (хабы).

Рис. 5. Топология «активное дерево»

Рис. 6. Топология «пассивное дерево». К - концентраторы

Применяется достаточно часто и комбинированная топология, например звездно шинная, звездно кольцевая.

Многозначительность понятия топологии.

Топология сети определяет не только физическое расположение компьютеров, но, что намного более важное, характер связей между ними, особенности распространения сигналов по сети. Именно характер связей определяет степень отказостойкости сети, необходимую сложность сетевой аппаратуры, наиболее подходящий метод управления обменом, возможны типы сред передачи (каналов связи), допустимый размер сети (длина линий связи и количество абонентов), необходимость электрического согласования, и много чего другого.
Когда в литературе вспоминается о топологии сети, то могут иметь в виду четыре совсем разных понятия, которые относятся к разным уровням сетевой архитектуры:

1. Физическая топология (то есть схема расположения компьютеров и прокладки кабелей). В этом содержании, например, пассивная звезда ничем не отличается от активной звезды, потому ее нередко называют просто «звездой».

2. Логическая топология (то есть структура связей, характер распространения сигналов по сети). Это, наверно, наиболее правильное определение топологии.

3. Топология управления обменом (то есть принцип и последовательность передачи права на восторг сети между отдельными компьютерами).

4. Информационная топология (то есть направление потоков информации, переданной по сети).

Например, сеть с физической и логической топологией «шина» может как метод управления использовать эстафетную передачу права захвата сети (то есть быть в этом содержании кольцом) и одновременно передавать всю информацию через один выделен компьютер (быть в этом содержании звездой).

Введение

1. Понятие топологии сети

2. Базовые топологии сети

2.3 Базовая топология сети типа "кольцо" (ring)

3. Другие возможные сетевые топологии

3.1 Топология сети типа "дерево" (tree)

3.2 Комбинированные топологии сети

3.3 "Сеточная" топология сети

4. Многозначность понятия топологии

Заключение

Список используемой литературы

Введение

На сегодняшний день невозможно представить деятельность человека без использования им компьютерных сетей.

Компьютерная сеть - представляет собой систему распределенной обработки информации, состоящую как минимум из двух компьютеров, взаимодействующих между собой с помощью специальных средств связи.

В зависимости от удалённости компьютеров и масштабов, сети условно разделяют на локальные и глобальные.

Локальные сети - сети, имеющие замкнутую инфраструктуру до выхода на поставщиков услуг. Термин "LAN" может описывать и маленькую офисную сеть, и сеть уровня большого завода, занимающего несколько сотен гектаров. Локальные сети развёртываются обычно в рамках некоторой организации, поэтому их называют также корпоративными сетями.

Иногда выделяют сети промежуточного класса - городская или региональная сеть, т.е. сеть в пределах города, области и т.п.

Глобальная сеть покрывает большие географические регионы, включающие в себя как локальные сети, так и прочие телекоммуникационные сети и устройства. Глобальные сети практически имеют те же возможности, что и локальные. Но они расширяют область их действия. Польза от применения глобальных сетей ограничена в первую очередь скоростью работы: глобальные сети работают с меньшей скоростью, чем локальные.

Из выше перечисленных компьютерных сетей, обратим свое внимание на локальные сети, для того чтобы лучше понять архитектуру сетей, способы передачи данных. А для этого надо знать такое понятие, как топология сети.

1. Понятие топологии сети

Топология - это физическая конфигурация сети в совокупности с ее логическими характеристиками. Топология - это стандартный термин, который используется при описании основной компоновки сети. Если понять, как используются различные топологии, то можно будет определить, какими возможностями обладают различные типы сетей.

Существует два основных типа топологий:

физическая

логическая

Логическая топология описывает правила взаимодействия сетевых станций при передаче данных.

Физическая топология определяет способ соединения носителей данных.

Термин "топология сети" характеризует физическое расположение компьютеров, кабелей и других компонентов сети. Топология сети обуславливает ее характеристики.

Выбор той или иной топологии влияет на:

состав необходимого сетевого оборудования

характеристики сетевого оборудования

возможности расширения сети

способ управления сетью

Конфигурация сети может быть или децентрализованной (когда кабель "обегает" каждую станцию в сети), или централизованной (когда каждая станция физически подключается к некоторому центральному устройству, распределяющему фреймы и пакеты между станциями). Примером централизованной конфигурации является звезда с рабочими станциями, располагающимися на концах ее лучей. Децентрализованная конфигурация похожа на цепочку альпинистов, где каждый имеет свое положение в связке, а все вместе соединены одной веревкой. Логические характеристики топологии сети определяют маршрут, проходимый пакетом при передаче по сети.

При выборке топологии нужно учитывать, чтобы она обеспечивала надежную и эффективную работу сети, удобное управление потоками сетевых данных. Желательно также, чтобы сеть по стоимости создания и сопровождения получилась недорогой, но в то же время оставались возможности для ее дальнейшего расширения и, желательно, для перехода к более высокоскоростным технологиям связи. Это непростая задача! Чтобы ее решить, необходимо знать, какие бывают сетевые топологии.

2. Базовые топологии сети

Существует три базовые топологии, на основе которых строится большинство сетей.

звезда (star)

кольцо (ring)

Если компьютеры подключены вдоль одного кабеля, топология называется "шиной". В том случае, когда компьютеры подключены к сегментам кабеля, исходящим из одной точки, или концентратора, топология называется звездой. Если кабель, к которому подключены компьютеры, замкнут в кольцо, такая топология носит название кольца.

Хотя сами по себе базовые топологии несложны, в реальности часто встречаются довольно сложные комбинации, объединяющие свойства нескольких топологий.

2.1 Топология сети типа "шина" (bus)

В этой топологии все компьютеры соединяются друг с другом одним кабелем (рисунок 1).

Рисунок 1 - Схема топологии сети тип "шина"

В сети с топологией "шина" компьютеры адресуют данные конкретному компьютеру, передавая их по кабелю в виде электрических сигналов - аппаратных MAC-адресов . Чтобы понять процесс взаимодействия компьютеров по шине, нужно уяснить следующие понятия:

передача сигнала

отражение сигнала

терминатор

1. Передача сигнала

Данные в виде электрических сигналов, передаются всем компьютерам сети; однако информацию принимает только тот, адрес которого соответствует адресу получателя, зашифрованному в этих сигналах. Причем в каждый момент времени только один компьютер может вести передачу. Так как данные в сеть передаются лишь одним компьютером, ее производительность зависит от количества компьютеров, подключенных к шине. Чем их больше, т.е. чем больше компьютеров, ожидающих передачи данных, тем медленнее сеть. Однако вывести прямую зависимость между пропускной способностью сети и количеством компьютеров в ней нельзя. Ибо, кроме числа компьютеров, на быстродействие сети влияет множество факторов, в том числе:

характеристики аппаратного обеспечения компьютеров в сети

частота, с которой компьютеры передают данные

тип работающих сетевых приложений

тип сетевого кабеля

расстояние между компьютерами в сети

Шина - пассивная топология. Это значит, что компьютеры только "слушают" передаваемые по сети данные, но не перемещают их от отправителя к получателю. Поэтому, если один из компьютеров выйдет из строя, это не скажется на работе остальных. В активных топологиях компьютеры регенерируют сигналы и передают их по сети.

2. Отражение сигнала

Данные, или электрические сигналы, распространяются по всей сети - от одного конца кабеля к другому. Если не предпринимать никаких специальных действий, сигнал, достигая конца кабеля, будет отражаться и не позволит другим компьютерам осуществлять передачу. Поэтому, после того как данные достигнут адресата, электрические сигналы необходимо погасить.

3. Терминатор

Чтобы предотвратить отражение электрических сигналов, на каждом конце кабеля устанавливают заглушки (терминаторы, terminators), поглощающие эти сигналы (Рисунок 2). Все концы сетевого кабеля должны быть к чему-нибудь подключены, например к компьютеру или к баррел-коннектору - для увеличения длины кабеля. К любому свободному - неподключенному - концу кабеля должен быть подсоединен терминатор, чтобы предотвратить отражение электрических сигналов.

Рисунок 2 - Установка терминатора

Нарушение целостности сети может произойти, если разрыв сетевого кабеля происходит при его физическом разрыве или отсоединении одного из его концов. Возможна также ситуация, когда на одном или нескольких концах кабеля отсутствуют терминаторы, что приводит к отражению электрических сигналов в кабеле и прекращению функционирования сети. Сеть "падает". Сами по себе компьютеры в сети остаются полностью работоспособными, но до тех пор, пока сегмент разорван, они не могут взаимодействовать друг с другом.

У такой топологии сети есть достоинства и недостатки. К достоинствам можно отнести:

небольшое время установки сети

дешевизна (требуется меньше кабеля и сетевых устройств)

простота настройки

выход из строя рабочей станции не отражается на работе сети

Недостатки такой топологии следующие.

такие сети трудно расширять (увеличивать число компьютеров в сети и количество сегментов - отдельных отрезков кабеля, их соединяющих).

поскольку шина используется совместно, в каждый момент времени передачу может вести только один из компьютеров.

"шина" является пассивной топологией - компьютеры только "слушают" кабель и не могут восстанавливать затухающие при передаче по сети сигналы.

надежность сети с топологией "шина" невысока. Когда электрический сигнал достигает конца кабеля, он (если не приняты специальные меры) отражается, нарушая работу всего сегмента сети.

Проблемы, характерные для топологии "шина", привели к тому, что эти сети, столь популярные еще десять лет назад, сейчас уже практически не используются.

Топология сети типа "шина" известна как логическая топология Ethernet 10 Мбит/с.

2.2 Базовая топология сети типа "звезда" (star)

При топологии "звезда" все компьютеры с помощью сегментов кабеля подключаются к центральному компоненту, именуемому концентратором (hub) (рисунок 3).

Сигналы от передающего компьютера поступают через концентратор ко всем остальным.

Эта топология возникла на заре вычислительной техники, когда компьютеры были подключены к центральному, главному, компьютеру.

Толковый словарь русского языка. Д.Н. Ушаков

топология

топологии, мн. нет, ж. (от греч. topos - место и logos - учение) (мат.). Часть геометрии, исследующая качественные свойства фигур (т.е. не зависящие от таких понятий, как длина, величина углов, прямолинейность и т.п.).

Новый толково-словообразовательный словарь русского языка, Т. Ф. Ефремова.

топология

ж. Раздел математики, изучающий качественные свойства геометрических фигур, не зависящие от их длины, величины углов, прямолинейности и т.п.

Энциклопедический словарь, 1998 г.

топология

ТОПОЛОГИЯ (от греч. topos - место и... логия) раздел математики, изучающий топологические свойства фигур, т.е. свойства, не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (точнее, при взаимно однозначных и непрерывных отображениях). Примерами топологических свойств фигур являются размерность, число кривых, ограничивающих данную область, и т.д. Так, окружность, эллипс, контур квадрата имеют одни и те же топологические свойства, т.к. эти линии могут быть деформированы одна в другую описанным выше образом; в то же время кольцо и круг обладают различными топологическими свойствами: круг ограничен одним контуром, а кольцо - двумя.

Топология

(от греч. tоpos ≈ место и ¼ логия) ≈ часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии предела). Разнообразие проявлений непрерывности в математике и широкий спектр различных подходов к её изучению привели к распадению единой Т. на ряд отделов («общая Т.», «алгебраическая Т.» и др.), отличающихся друг от друга по предмету и методу изучения и фактически весьма мало между собой связанных. I. Общая топология Часть Т., ориентированная на аксиоматическое изучение непрерывности, называется общей Т. Наряду с алгеброй общая Т. составляет основу современного теоретико-множественного метода в математике. Аксиоматически непрерывность можно определить многими (вообще говоря, неравносильными) способами. Общепринята аксиоматика, основывающаяся на понятии открытого множества. Топологической структурой, или топологией, на множестве Х называют такое семейство его подмножеств, называемых открытыми множествами, что: 1) пустое множество Æ и всё Х открыты; 2) объединение любого числа и пересечение конечного числа открытых множеств открыто. Множество, на котором задана топологическая структура, называют топологическим пространством. В топологическом пространстве Х можно определить все основные понятия элементарного анализа, связанные с непрерывностью. Например, окрестностью точки x Î X называют произвольное открытое множество, содержащее эту точку; множество A Ì X называют замкнутым, если его дополнение Х \ А открыто; замыканием множества А называют наименьшее замкнутое множество, содержащее A; если это замыкание совпадает с X, то А называют всюду плотным в Х и т.д. По определению, Æ и Х являются одновременно замкнутыми и открытыми множествами. Если в Х нет других множеств, одновременно замкнутых и открытых, то топологическое пространство Х называют связным. Наглядно связное пространство состоит из одного «куска», а несвязное ≈ из нескольких. Любое подмножество А топологического пространства Х обладает естественной топологической структурой, состоящей из пересечений с А открытых множеств из X. Снабженное этой структурой А называют подпространством пространства X. Каждое метрическое пространство становится топологическим, если за его открытые множества принять множества, содержащие вместе с произвольной точкой некоторую её e-окрестность (шар радиуса e с центром в этой точке). В частности, любое подмножество n-мерного евклидова пространства ═является топологическим пространством. Теория таких пространств (под названием «геометрической Т.») и теория метрических пространств включаются по традиции в общую Т. Геометрическая Т. довольно четко распадается на две части: изучение подмножеств ═произвольной сложности, подчинённых тем или иным ограничениям общего характера (примером является так называемая теория континуумов, то есть связных ограниченных замкнутых множеств), и изучение способов, какими в ═могут быть вложены такие простые топологические пространства, как сфера, шар и т.п. (вложения в, например, сфер могут быть очень сложно устроенными). Открытым покрытием топологического пространства Х называют семейство его открытых множеств, объединением которого является всё X. Топологическое пространство Х называют компактным (в другой терминологии ≈бикомпактным), если любое его открытое покрытие содержит конечное число элементов, также образующих покрытие. Классическая теорема Гейне ≈ Бореля утверждает, что любое ограниченное замкнутое подмножество ═компактно. Оказывается, что все основные теоремы элементарного анализа об ограниченных замкнутых множествах (например, теорема Вейерштрасса о том, что на таком множестве непрерывная функция достигает своего наибольшего значения) справедливы для любых компактных топологических пространств. Это определяет фундаментальную роль, которую играют компактные пространства в современной математике (особенно в связи с теоремами существования). Выделение класса компактных топологических пространств явилось одним из крупнейших достижений обшей Т., имеющих общематематическое значение. Открытое покрытие {Vb} называют вписанным в покрытие {Ua}, если для любого b существует a такое, что Vb Ì Ua. Покрытие {Vb} называют локально конечным, если каждая точка х Î Х обладает окрестностью, пересекающейся только с конечным числом элементов этого покрытия. Топологическое пространство называют паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие. Класс паракомпактных пространств является примером классов топологических пространств, получающихся наложением так называемых условий типа компактности. Этот класс очень широк, в частности он содержит все метризуемые топологические пространства, то есть пространства X, в которых можно ввести такую метрику r, что Т., порожденная r в X, совпадает с Т., заданной в X. Кратностью открытого покрытия называют наибольшее число k такое, что найдётся k его элементов, имеющих непустое пересечение. Наименьшее число n, обладающее тем свойством, что в любое конечное открытое покрытие топологического пространства Х можно вписать открытое покрытие кратности £n + 1, обозначается символом dimХ и называется размерностью X. Это название оправдано тем, что в элементарно-геометрических ситуациях dimХ совпадает с обычно понимаемой размерностью, например dim = n. Возможны и др. числовые функции топологического пространства X, отличающиеся от dimX, но в простейших случаях совпадающие с dimX. Их изучение составляет предмет общей теории размерности ≈ наиболее геометрически ориентированной части общей Т. Только в рамках этой теории удаётся, например, дать чёткое и достаточно общее определение интуитивного понятия геометрической фигуры и, в частности, понятия линии, поверхности и т.п. Важные классы топологических пространств получаются наложением так называемых аксиом отделимости. Примером является так называемая аксиома Хаусдорфа, или аксиома T2, требующая, чтобы любые две различные точки обладали непересекающимися окрестностями. Топологическое пространство, удовлетворяющее этой аксиоме, называется хаусдорфовым, или отделимым. Некоторое время в математической практике встречались почти исключительно хаусдорфовы пространства (например, любое метрическое пространство хаусдорфово). Однако роль нехаусдорфовых топологических пространств в анализе и геометрии постоянно растет. Топологические пространства, являющиеся подпространствами хаусдорфовых (би) компактных пространств, называются вполне регулярными или тихоновскими. Их тоже можно охарактеризовать некоторой аксиомой отделимости, а именно: аксиомой, требующей, чтобы для любой точки x0 ═Х и любого не содержащего её замкнутого множества F ═Х существовала непрерывная функция g: Х ╝ , равная нулю в x0 и единице на F. Топологические пространства, являющиеся открытыми подпространствами хаусдорфовых компактных, называются локально компактными пространствами. Они характеризуются (в классе хаусдорфовых пространств) тем, что каждая их точка обладает окрестностью с компактным замыканием (пример: евклидово пространство). Любое такое пространство дополняется одной точкой до компактного (пример: присоединением одной точки из плоскости получается сфера комплексного переменного, а из ═≈ сфера S n). Отображение f: X ╝ Y топологическое пространства Х в топологическое пространство Y называют непрерывным отображением, если для любого открытого множества V Ì Y множество f≈1(V) открыто в X. Непрерывное отображение называют гомеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и обратное отображение f≈1: Y ╝ X непрерывно. Такое отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между открытыми множествами топологических пространств Х и Y, перестановочное с операциями объединения и пересечения множеств. Поэтому все топологические свойства (то есть свойства, формулируемые в терминах открытых множеств) этих пространств одни и те же, и с топологической точки зрения гомеоморфные топологические пространства (то есть пространства, для которых существует хотя бы один гомеоморфизм Х ╝ Y) следует считать одинаковыми (подобно тому как в евклидовой геометрии одинаковыми считаются фигуры, которые можно совместить движением). Например, гомеоморфны («топологически одинаковы») окружность и граница квадрата, шестиугольника и т.п. Вообще любые две простые (не имеющие двойных точек) замкнутые линии гомеоморфны. Напротив, окружность не гомеоморфна прямой (ибо удаление точки не нарушает связности окружности, но нарушает связность прямой; по той же причине прямая не гомеоморфна плоскости, а окружность не гомеоморфна «восьмёрке»). Окружность не гомеоморфна также и плоскости (выкиньте не одну, а две точки). Пусть {Хa} ≈ произвольное семейство топологических пространств. Рассмотрим множество Х всех семейств вида {хa}, где xa ═Xa (прямое произведение множеств Xa). Для любого a формула определяет некоторое отображение ═(называется проекцией). Вообще говоря, в Х можно ввести много топологических структур, относительно которых все отображения pa непрерывны. Среди этих структур существует наименьшая (то есть содержащаяся в любой такой структуре). Снабженное этой топологической структурой множество Х называется топологическим произведением топологических пространств Хa и обозначается символом ПХa (а в случае конечного числа сомножителей ≈ символом X1 ` ... ` Xn). В явном виде открытые множества пространства Х можно описать как объединения конечных пересечений всех множеств вида, где Ua открыто в Xa. Топологическое пространство Х обладает следующим замечательным свойством универсальности, однозначно (с точностью до гомеоморфизма) его характеризующим: для любого семейства непрерывных отображений fa: Y ╝ Xa существует единственное непрерывное отображение f: Y ╝ X, для которого ══при всех a. Пространство ═является топологическим произведением n экземпляров числовой прямой. Одной из важнейших теорем общей Т. является утверждение о том, что топологическое произведение компактных топологических пространств компактно. Если Х ≈ топологическое пространство, а Y ≈ произвольное множество и если задано отображение p: X ╝ Y пространства Х на множество Y (например, если Y является фактормножеством Х по некоторому отношению эквивалентности, а p представляет собой естественную проекцию, сопоставляющую с каждым элементом х Î Х его класс эквивалентности), то можно ставить вопрос о введении в Y топологической структуры, относительно которой отображение p непрерывно. Наиболее «богатую» (открытыми множествами) такую структуру получают, полагая открытыми множествами в Y все те множества V Ì Y, для которых множество f‑1(V) Ì Х открыто в X. Снабженное этой топологической структурой множество Y называется факторпространством топологического пространства Х (по отношению к p). Оно обладает тем свойством, что произвольное отображение f: Y ╝ Z тогда и только тогда непрерывно, когда непрерывно отображение ═: X ╝ Z. Непрерывное отображение p: X ╝ Y называется факторным, если топологическое пространство Y является по отношению к p факторпространством топологического пространства X. Непрерывное отображение p: X ╝ Y называется открытым, если для любого открытого множества U Ì Х множество p(U) открыто в Y, и замкнутым, если для любого замкнутого множества F Ì Х множество p(F) замкнуто в Y. Как открытые, так и замкнутые непрерывные отображения f: Х ╝ Y, для которых f(X) = Y, являются факторными. Пусть Х ≈ топологическое пространство, А ≈ его подпространство и f: A ╝ Y ≈ непрерывное отображение. Предполагая топологические пространства Х и Y непересекающимися, введём в их объединении Х È Y топологическую структуру, считая открытыми множествами объединения открытых множеств из Х и Y. Далее, введём в пространстве Х È Y наименьшее отношение эквивалентности, в котором a ~ f(a) для любой точки a Î А. Соответствующее факторпространство обозначается символом X È fY, и о нём говорят, что оно получено приклеиванием топологического пространства Х к топологическому пространству Y по А посредством непрерывного отображения f. Эта простая и наглядная операция оказывается очень важной, так как позволяет получать из сравнительно простых топологических пространств более сложные. Если Y состоит из одной точки, то пространство Х È fY обозначается символом Х/А и о нём говорят, что оно получено из Х стягиванием А в точку. Например, если Х ≈ диск, а А ≈ его граничная окружность, то Х/А гомеоморфно сфере. 2. Равномерная топология Часть Т., изучающая аксиоматическое понятие равномерной непрерывности, называется равномерной Т. Известное из анализа определение равномерной непрерывности числовых функций непосредственно переносится на отображения любых метрических пространств. Поэтому аксиоматику равномерной непрерывности обычно получают, отталкиваясь от метрических пространств. Подробно исследованы два аксиоматических подхода к равномерной непрерывности, основанных соответственно на понятиях близости и окружения диагонали. Подмножества А и В метрических пространства Х называются близкими (обозначение AdB), если для любого e > 0 существуют точки a Î А и b Î В, расстояние между которыми < e. Принимая основные свойства этого отношения за аксиомы, приходят к следующему определению: (отделимой) структурой близости на множестве Х называется такое отношение d на множестве всех его подмножеств, что: 1) ÆX (символом обозначается отрицание отношения d; 2) AB1 и AB2Û A(B1 U B2); ═3) {x}{y} Û x ¹ y;4) если АВ, то существует такое множество С В, что А(Х\С). Множество, в котором задана структура близости, называется пространством близости. Отображение пространства близости Х в пространство близости Y называется близостно непрерывным, если образы близких в Х множеств близки в Y. Пространства близости Х и Y называются близостно гомеоморфными (или эквиморфными), если существует взаимно однозначное близостно непрерывное отображение X ╝ Y, обратное к которому также является близостно непрерывным (такое близостно непрерывное отображение называется эквиморфизмом). В равномерной Т. эквиморфные пространства близости рассматриваются как одинаковые. Подобно метрическим пространствам, любое пространство близости можно превратить в (хаусдорфово) топологическое пространство, считая подмножество u Ì x открытым, если {x}(X \U) для любой точки х Î U. При этом близостно непрерывные отображения окажутся непрерывными отображениями. Класс топологических пространств, получающихся описанным образом из пространств близости, совпадает с классом вполне регулярных топологических пространств. Для любого вполне регулярного пространства Х все структуры близости на X, порождающие его топологическую структуру, находятся во взаимно однозначном соответствии с так называемыми компактификациями (в другой терминологии ≈ би-компактными расширениями) вХ ≈ компактными хаусдорфовыми топологическими пространствами, содержащими Х в качестве всюду плотного пространства. Структура близости d, соответствующая расширению вХ, характеризуется тем, что АdВ тогда и только тогда, когда замыкания множеств А и В пересекаются в bX. В частности, на любом компактном хаусдорфовом топологическом пространстве Х существует единственная структура близости, порождающая его топологическую структуру. Другой подход основан на том, что равномерную непрерывность в метрическом пространстве Х можно определить в терминах отношения «точки х и у находятся на расстоянии, не большем e». С общей точки зрения, отношение на Х есть не что иное как произвольное подмножество U прямого произведения Х ` X. Отношение «тождество» является с этой точки зрения диагональю D Ì Х ` X, то есть множеством точек вида (х, х), х Î X. Для любого отношения U определено обратное отношение U≈1 = {(х, у); (у, х) Î U } и для любых двух отношений U и V определена их композиция U × V = {(х, у); существует z Î Х такое, что (х, z) Î U, (z, y) Î V }. Семейство отношений {U } называется (отделимой) равномерной структурой на Х (а отношения U называется окружениями диагонали), если: 1) пересечение любых двух окружений диагонали содержит окружение диагонали; 2) каждое окружение диагонали содержит D, и пересечение всех окружений диагонали совпадает с D; 3) вместе с U окружением диагонали является и U≈1; 4) для любого окружения диагонали U существует такое окружение диагонали W, что W o W Ì U. Множество, наделённое равномерной структурой, называется равномерным пространством. Отображение f: X ╝ Y равномерного пространства Х в равномерное пространство Y называется равномерно непрерывным, если прообраз при отображении f ` f: Х ` Х ╝ Y ` Y любого окружения диагонали V Ì Y ` Y содержит некоторое окружение диагонали из Х ` X. Равномерные пространства Х и Y называются равномерно гомеоморфными, если существует взаимно однозначное равномерно непрерывное отображение Х ╝ Y, обратное к которому также является равномерно непрерывным отображением. В равномерной Т. такие равномерные пространства считаются одинаковыми. Каждая равномерная структура на Х определяет некоторую структуру близости: АdВ тогда и только тогда, когда (A ` В) Ç U ¹ Æ для любого окружения диагонали U Ì X ` X. При этом равномерно непрерывные отображения оказываются близостно непрерывными. 3. Алгебраическая топология Пусть каждому топологическому пространству Х (из некоторого класса) поставлен в соответствие некоторый алгебраический объект h(X) (группа, кольцо и т.п.), а каждому непрерывному отображению f: X ╝ Y ≈ некоторый гомоморфизм h(f) : h(X) ╝ h(Y) (или h(f) : h(Y) ╝ h(X), являющийся тождественным гомоморфизмом, когда f представляет собой тождественное отображение. Если h(f1 ═f2) = h(f1) ═h(f2) (или, соответственно, h(f1 ═f2) = h(f2) h(f1), то говорят, что h представляет собой функтор (соответственно кофунктор). Большинство задач алгебраической Т. так или иначе связано со следующей задачей распространения: для данного непрерывного отображения f: A ╝ Y подпространства A Ì Х в некоторое топологическое пространство Y найти непрерывное отображение g: X ╝ Y, совпадающее на A с f, то есть такое, что f = g×i, где i: А ╝ Х ≈ отображение вложения (i(a) = а для любой точки а Î A). Если такое непрерывное отображение g существует, то для любого функтора (кофунктора) h существует такой гомоморфизм (j: h(X) ╝ h(Y) (гомоморфизм j: h(Y) ╝ h(X)), что h(f) = j ═h(i) (соответственно h(f) = h(i) ═j); им будет гомоморфизм j = h(g). Следовательно, несуществование гомоморфизма j (хотя бы для одного функтора h) влечёт несуществование отображения g. К этому простому принципу могут быть фактически сведены почти все методы алгебраических Т. Например, существует функтор h, значение которого на шаре E n является тривиальной, а на ограничивающей шар сфере S n≈1 ≈ нетривиальной группой. Уже отсюда следует отсутствие так называемой ретракции ≈ непрерывного отображения р: E n╝ S n≈1, неподвижного на S n≈1, то есть такого, что композиция р×i, где i: S n‑1 ╝ E n ≈ отображение вложения, представляет собой тождественное отображение (если р существует, то тождественное отображение группы h(S n≈1) будет композицией отображений h(i) : h(S n≈1) ╝ h(E n) и h(p) : h(E n) ╝ h(S n≈1), что при тривиальной группе h(E n) невозможно). Однако этот, по существу, элементарно-геометрический и (при n = 2) наглядно очевидный факт (физически означающий возможность натянуть на круглый обруч барабан) до сих пор не удалось доказать без привлечения алгебраико-топологических методов. Его непосредственным следствием является утверждение, что любое непрерывное отображение f: E n╝ E n имеет хотя бы одну неподвижную точку, то есть уравнение f(x) = х имеет в E n хотя бы одно решение (если f(x) ¹ x для всех х Î E n, то, приняв за р(х) точку из S n≈1, коллинеарную точкам f(x) и х и такую, что отрезок с концами f(x) и р(х) содержит х, получим ретракцию р: E n╝ S n≈1). Эта теорема о неподвижной точке была одной из первых теорем алгебраической Т., а затем явилась источником целой серии разнообразных теорем существования решений уравнений. Вообще говоря, установление несуществования гомоморфизма (j тем легче, чем сложнее алгебраическая структура объектов h(X). Поэтому в алгебраических Т. рассматриваются алгебраические объекты чрезвычайно сложной природы, и требования алгебраической топологии существенно стимулировали развитие абстрактной алгебры. Топологическое пространство Х называется клеточным пространством, а также клеточным разбиением (или CW-комплексом), если в нём указана возрастающая последовательность подпространств X 0 Ì ¼ Ì X n≈1 Ì X n Ì ¼ (называется остовами клеточного пространства X), объединением которых является всё X, причём выполнены следующие условия: 1) множество U Ì X тогда и только тогда открыто в X, когда для любого n множество U Ç X n открыто в X n; 2) X n получается из X n≈1 приклеиванием некоторого семейства n-мepных шаров по их граничным (n≈1)-мepным сферам (посредством произвольного непрерывного отображения этих сфер в X n≈1); 3) X0 состоит из изолированных точек. Таким образом, структура клеточного пространства состоит, грубо говоря, в том, что оно представлено в виде объединения множеств, гомеоморфных открытым шарам (эти множества называются клетками). В алгебраических Т. изучаются почти исключительно клеточные пространства, поскольку специфика задач алгебраических Т. для них уже полностью проявляется. Более того, фактически для алгебраических Т. интересны некоторые особо простые клеточные пространства (типа полиэдров, см. ниже), но сужение класса клеточных пространств, как правило, существенно осложняет исследование (поскольку многие полезные операции над клеточными пространствами выводят из класса полиэдров). Два непрерывных отображения f, g: X ╝ Y называются гомотопными, если они могут быть непрерывно продеформированы друг в друга, то есть если существует такое семейство непрерывных отображений ft: X ╝ Y, непрерывно зависящих от параметра t Î , что f0= f и f1 = g (непрерывная зависимость от t означает, что формула F(x, t) = ft(x), х Î X, t Î определяет непрерывное отображение F: Х ` ╝ Y; это отображение, а также семейство {ft } называют гомотопией, связывающей f с g). Совокупность всех непрерывных отображений X ╝ Y распадается на гомотопические классы гомотопных между собой отображений. Множество гомотопических классов непрерывных отображений из Х в Y обозначается символом . Изучение свойств отношения гомотопности и, в частности, множеств составляет предмет так называемой гомотопической топологии (или теории гомотопий). Для большинства интересных топологических пространств множества конечны или счётны и могут быть в явном виде эффективно вычислены. Топологические пространства Х и Y называются гомотопически эквивалентными, или имеющими один и тот же гомотопический тип, если существуют такие непрерывные отображения f: Х ╝ Y и g: Y ╝ Х, что непрерывные отображения g×f: Х ╝ Х и f×g: Y ╝ Y гомотопны соответствующим тождественным отображениям. В гомотопической Т. такие пространства следует рассматривать как одинаковые (все их «гомотопические инварианты» совпадают). Оказывается, что во многих случаях (в частности, для клеточных пространств) разрешимость задачи распространения зависит только от гомотопического класса непрерывного отображения f: A ╝ Y; точнее, если для f распространение g: Х ╝ Y существует, то для любой гомотопии ft: A ╝ Y (с f0 = f) существует распространение gt: Х ╝ Y такое, что g0 = g. Поэтому вместо f можно рассматривать его гомотопический класс [f] и в соответствии с этим изучать лишь гомотопически инвариантные функторы (кофункторы) h, то есть такие, что h(f0) = h(f1), если отображения f0 и f1 гомотопны. Это приводит к настолько тесному переплетению алгебраической и гомотопической Т., что их можно рассматривать как единую дисциплину. Для любого топологического пространства Y формулы h(X) = и h(f) = , где f: X1 ╝ X2 и j: X2 ╝ Y, определяют некоторый гомотопически инвариантный кофунктор h, о котором говорят, что он представлен топологическим пространством Y. Это ≈ стандартный (и по существу единственный) приём построения гомотопических инвариантных кофункторов. Чтобы множество h(X) оказалось, скажем, группой, нужно У выбрать соответствующим образом, например потребовать, чтобы оно было топологической группой (вообще говоря, это не совсем так: необходимо выбрать в Х некоторую точку x0 и рассматривать лишь непрерывные отображения и гомотопии, переводящие x0 в единицу группы; это техническое усложнение будет, однако, в дальнейшем игнорироваться). Более того, достаточно, чтобы Y было топологической группой «в гомотопическом смысле», то есть чтобы аксиомы ассоциативности и существования обратного элемента (утверждающие фактически совпадение некоторых отображений) выполнялись бы только «с точностью до гомотопии». Такие топологические пространства называются Н-пространствами. Таким образом, каждое Н-пространство Y задаёт гомотопически инвариантный кофунктор h(X) = , значениями которого являются группы. Аналогичным («двойственным») образом, каждое топологическое пространство Y задаёт по формулам h(X) = , h(f) = , где f: X1 ╝ X2 и j: Y ╝ X1, некоторый функтор h. Чтобы h(X) было группой, нужно, чтобы Y обладало определённой алгебраической структурой, в некотором точно определённом смысле двойственной структуре Н-пространства. Топологические пространства, наделённые этой структурой, называются ко-Н-пространствами. Примером ко-Н-пространства является n-мepная сфера S n (при n ³ 1). Таким образом, для любого топологического пространства Х формула pnX = определяет некоторую группу pnX, n ³ 1, которая называется n-й гомотопической группой пространства X. При n = 1 она совпадает с фундаментальной группой. При n > 1 группа pnX коммутативна. Если p1X= {1}, то Х называется односвязным. Клеточное пространство Х называется пространством K(G, n), если pi(X) = 0 при i ¹ n и pnX = G; такое клеточное пространство существует для любого n ³ 1 и любой группы G (коммутативной при n > 1) и с точностью до гомотопической эквивалентности определено однозначно. При n > 1 (а также при n = 1, если группа G коммутативна) пространство K(G, n) оказывается Н-пространством и потому представляет некоторую группу H n(X; G) = . Эта группа называется n-мepной группой когомологий топологического пространства Х с группой коэффициентов G. Она является типичным представителем целого ряда важных кофункторов, к числу которых принадлежит, например, К-функтор KO(X) = [Х, BO], представляемый так называемым бесконечномерным грассманианом BO, группы ориентированных кобордизмов WnX и т.п. Если G является кольцом, то прямая сумма Н*(Х; G) групп H n(X; G) является алгеброй над G. Более того, эта прямая сумма обладает очень сложной алгебраической структурой, в которую (при G = Zp, где Zp ≈ циклическая группа порядка р) входит действие на Н*(Х; G) некоторой некоммутативной алгебры p, называемой алгеброй Стинрода. Сложность этой структуры позволяет, с одной стороны, выработать эффективные (но совсем не простые) методы вычисления групп H n(X; G), а с другой ≈ установить связи между группами H n(X; G) и другими гомотопически инвариантными функторами (например, гомотопическими группами pnX), позволяющие часто в явном виде вычислить и эти функторы. Исторически группам когомологий предшествовали так называемые группы гомологий Hn(X; G), являющиеся гомотопическими группами pnM(X, G) некоторого клеточного пространства M(X, G), однозначно строящегося по клеточному пространству Х и группе G. Группы гомологий и когомологий в определённом смысле двойственны друг другу, и их теории по существу равносильны. Однако алгебраическая структура, имеющаяся в группах гомологий, менее привычна (например, эти группы составляют не алгебру, а так называемую коалгебру), и поэтому в вычислениях обычно пользуются группами когомологий. Вместе с тем в некоторых вопросах группы гомологий оказываются более удобными, поэтому они также изучаются. Часть алгебраических Т., занимающаяся изучением (и применением) групп гомологий и когомологий, называется теорией гомологий. Перенесение результатов алгебраических Т. на пространства более общие, чем клеточные пространства, составляет предмет так называемой общей алгебраической Т. В частности, общая теория гомологий изучает группы гомологий и когомологий произвольных топологических пространств и их применения. Оказывается, что вне класса компактных клеточных пространств различные подходы к построению этих групп приводят, вообще говоря, к различным результатам, так что для неклеточных топологических пространств возникает целый ряд различных групп гомологий и когомологий. Основное применение общая теория гомологий находит в теории размерности и в теории так называемых законов двойственности (описывающих взаимоотношения между топологическими свойствами двух дополнительных подмножеств топологического пространства), и её развитие было во многом стимулировано нуждами этих теорий. 4. Кусочно-линейная топология Подмножество Р Î ═называется конусом с вершиной а и основанием В, если каждая его точка принадлежит единственному отрезку вида ab, где b Î В. Подмножество Х Î ═называется полиэдром, если любая его точка обладает в Х окрестностью, замыкание которой является конусом с компактным основанием. Непрерывное отображение f: X ╝ Y полиэдров называется кусочно-линейным, если оно линейно на лучах каждой конической окрестности любой точки х Î X. Взаимно однозначное кусочно-линейное отображение, обратное к которому также кусочно-линейно, называется кусочно-линейным изоморфизмом. Предметом кусочно-линейной Т. является изучение полиэдров и их кусочно-линейных отображений. В кусочно-линейной Т. полиэдры считаются одинаковыми, если они кусочно-линейно изоморфны. Подмножество Х Î ═тогда и только тогда является (компактным) полиэдром, когда оно представляет собой объединение (конечного) семейства выпуклых многогранников. Любой полиэдр может быть представлен в виде объединения симплексов, пересекающихся только по целым граням. Такое представление называют триангуляцией полиэдра. Каждая триангуляция однозначно определена её симплициальной схемой, то есть множеством всех её вершин, в котором отмечены подмножества, являющиеся множествами вершин симплексов. Поэтому вместо полиэдров можно рассматривать лишь симп-лициальные схемы их триангуляций. Например, по симплициальной схеме можно вычислять группы гомологий и когомологий. Это делается следующим образом: а) симплекс, вершины которого определённым образом упорядочены, называется упорядоченным симплексом данной триангуляции (или симплициальной схемы) К; формальные линейные комбинации упорядоченных симплексов данной размерности n с коэффициентами из данной группы G называются n-мepными цепями; все они естественным образом составляют группу, которая обозначается символом C n(K; G); б) выбросив из упорядоченного n-мерного симплекса s вершину с номером i, 0 £ i £ n, получим упорядоченный (n≈1)-мерный симплекс, который обозначается символом s(i); цепь ═называется границей s; по линейности отображение ═распространяется до гомоморфизма ═: Cn(K; G) ╝ Cn-1 (K; G); в) цепи с, для которых ═= 0, называются циклами, они составляют группу циклов Zn(K; G); г) цепи вида ═называются границами, они составляют группу границ Bn(K; G); д) доказывается, что Bn(K; G) Ì Zn(K; G) (граница является циклом); поэтому определена факторгруппа Hn(K; G) = Zn(K; G)/ Bn(K; G). Оказывается, что группа Hn(K; G) изоморфна группе гомологий Hn(X; G) полиэдра X, триангуляцией которого является К. Аналогичная конструкция, в которой исходят не из цепей, а из коцепей (произвольных функций, определённых на множестве всех упорядоченных симплексов и принимающих значения в G), даёт группы когомологий. С этой конструкции, изложенной здесь в несколько модифицированной форме, и началось по существу становление алгебраической Т. В первоначальной конструкции рассматривались так называемые ориентированные симплексы (классы упорядоченных симплексов, отличающихся чётными перестановками вершин). Эта конструкция развита и обобщена в самых разнообразных направлениях. В частности, её алгебраические аспекты дали начало так называемой гомологической алгебре. Самым общим образом симплициальную схему можно определить как множество, в котором отмечены некоторые конечные подмножества («симплексы»), причём требуется, чтобы любое подмножество симплекса было снова симплексом. Такая симплициальная схема является симплициальной схемой триангуляции некоторого полиэдра тогда и только тогда, когда число элементов произвольного отмеченного подмножества не превосходит некоторого фиксированного числа. Впрочем, понятие полиэдра можно обобщить (получив так называемые «бесконечномерные полиэдры»), и тогда уже любая симплициальная схема будет схемой триангуляции некоторого полиэдра (называемого её геометрической реализацией). Произвольному открытому покрытию {Ua} каждого топологического пространства Х можно сопоставить симплициальную схему, вершинами которой являются элементы Ua покрытия и подмножество которой тогда и только тогда отмечено, когда элементы покрытия, составляющие это подмножество, имеют непустое пересечение. Эта симплициальная схема (и соответствующий полиэдр) называемому нервом покрытия. Нервы всевозможных покрытий в определённом смысле аппроксимируют пространство Х и, исходя из их групп гомологий и когомологий, можно посредством соответствующего предельного перехода получать группы гомологий и когомологий самого X. Эта идея лежит в основе почти всех конструкций общей теории гомологий. Аппроксимация топологического пространства нервами его открытых покрытий играет важную роль и в общей Т. 5. Топология многообразий Хаусдорфово паракомпактное топологическое пространство называется n-мерным топологическим многообразием, если оно «локально евклидово», то есть если каждая его точка обладает окрестностью (называемой координатной окрестностью, или картой), гомеоморфной топологическому пространству. В этой окрестности точки задаются n числами x1, ┘, xn, называемыми локальными координатами. В пересечении двух карт соответствующие локальные координаты выражаются друг через друга посредством некоторых функций, называемых функциями перехода. Эти функции задают гомеоморфизм открытых множеств в, называются гомеоморфизмом перехода. Условимся произвольный гомеоморфизм между открытыми множествами из ═называть t-гомеоморфизмом. Гомеоморфизм, являющийся кусочно-линейным изоморфизмом, будем называть p-гомеоморфизмом, а если он выражается гладкими (дифференцируемыми любое число раз) функциями, ≈ s-гомеоморфизмом. Пусть a = t, p или s. Топологическое многообразие называется a-многообразием, если выбрано такое его покрытие картами, что гомеоморфизмы перехода для любых его двух (пересекающихся) карт являются a-гомеоморфизмами. Такое покрытие задаёт a-структуру на топологическом многообразии X. Таким образом, t-многообразие ≈ это просто любое топологическое многообразие, p-многообразия называются кусочно-линейными многообразиями. Каждое кусочно-линейное многообразие является полиэдром. В классе всех полиэдров n-мерные кусочно-линейные многообразия характеризуются тем, что любая их точка обладает окрестностью, кусочно-линейно изоморфной n-мерному кубу. s-многообразия называются гладкими (или дифференцируемыми) многообразиями. a-отображением a-многообразия называются называется при a = t произвольное непрерывное отображение, при a = s ≈ произвольное кусочно-линейное отображение, при a = s ≈ произвольное гладкое отображение, то есть непрерывное отображение, записывающееся в локальных координатах гладкими функциями. Взаимно однозначное a-отображение, обратное к которому также является a-отображением, называется a-гомеоморфизмом (при a = s также диффеоморфизмом), a-многообразия Х и Y называются a-гомеоморфными (при a = s ≈ диффеоморфными), если существует хотя бы один a-гомеоморфизм X ╝ Y. Предметом теории a-многообразий является изучение a-многообразий и их a-отображений; при этом a-гомеоморфные a-многообразия считаются одинаковыми. Теория s-многообразий является частью кусочно-линейной Т. Теория s-многообразий называется также гладкой Т. Основной метод современной теории многообразий состоит в сведении её задач к проблемам алгебраических Т. для некоторых нужным образом сконструированных топологических пространств. Эта тесная связь теории многообразий с алгебраической Т. позволила, с одной стороны, решить много трудных геометрических проблем, а с другой ≈ резко стимулировала развитие самой алгебраической Т. Примерами гладких многообразий являются n-мерные поверхности в, не имеющие особых точек. Оказывается (теорема вложения), что любое гладкое многообразие диффеоморфно такой поверхности (при N ³ 2n + 1). Аналогичный результат верен и при a = t, p. Каждое p-многообразие является t-многообразием. Оказывается, что на любом s-многообразии можно некоторым естественным образом ввести p-структуру (которая называется обычно у айтхедовской триангуляцией). Можно сказать, что любое a-многообразие, где a = p или s, является a▓-многообразием, где a▓ = t или p. Ответ на обратный вопрос: на каких a▓-многообразиях можно ввести a-структуру (такое a▓-многообразие при a▓ = p называется сглаживаемым, а при a▓ = t ≈триангулируемым), а если можно, то сколько? ≈ зависит от размерности n. Существует только два одномерных топологических многообразия: окружность S1 (компактное многообразие) и прямая линия ═(некомпактное многообразие). Для любого a = p, s на t-многообразиях S1 и ═существует единственная a-структура. Аналогично, на любом двумерном топологическом многообразии (поверхности) существует единственная a-структура, и можно легко описать все компактные связные поверхности (некомпактные связные поверхности также могут быть описаны, но ответ получается более сложный). Для того чтобы поверхности были гомеоморфны, достаточно, чтобы они были гомотопически эквивалентны. При этом гомотопический тип любой поверхности однозначно характеризуется её группами гомологий. Существует два типа поверхностей: ориентируемые и неориентируемые. К числу ориентируемых принадлежит сфера S2 и тор T2. Пусть Х и Y ≈ два связных n-мерных a-многообразия. Вырежем в Х и Y по шару (при n = 2 ≈ диску) и склеим получившиеся граничные сферы (при n = 2 ≈ окружности). При соблюдении некоторых само собой разумеющихся предосторожностей в результате снова получим a-многообразие. Оно называется связной суммой a-многообразий Х и Y и обозначается X#Y. Например, T2#T2 имеет вид кренделя. Сфера S n является нулём этого сложения, то естьS n#X = Х для любого X. В частности, S2#T2= T2. Оказывается, что ориентируемая поверхность гомеоморфна связной сумме вида S2#T2#┘#T2, число p слагаемых T2 называется родом поверхности. Для сферы p = 0, для тора p = 1 и т. д. Поверхность рода p можно наглядно представлять себе как сферу, к которой приклеено p «ручек». Каждая неориентируемая поверхность гомеоморфна связной сумме P2# ¼ #P2 некоторого числа проективных плоскостей P2. Её можно представлять себе как сферу, к которой приклеено несколько Мебиуса листов. На каждом трёхмерном топологическом многообразии при любом a = p, s также существует единственная a-структура и можно описать все гомотопические типы трёхмерных топологических многообразий (однако групп гомологий для этого уже недостаточно). В то же время до сих пор (1976) не описаны все (хотя бы компактные связные) трёхмерные топологические многообразия данного гомотопического типа. Это не сделано даже для односвязных многообразий (все они гомотопически эквивалентны сфере S 3). Гипотеза Пуанкаре утверждает, что любое такое многообразие гомеоморфно S 3. Для четырёхмерных (компактных и связных) топологических многообразий вопрос о существовании и единственности a-структур (a = p, s) ещё не решен, а их гомотопический тип описан только в предположении односвязности. Справедлив ли для них аналог гипотезы Пуанкаре, неизвестно. Замечательно, что для компактных и связных топологических многообразий размерности n ³ 5 ситуация оказывается совсем иной: все основные задачи для них можно считать в принципе решенными (точнее, сведёнными к проблемам алгебраической Т.). Любое гладкое многообразие Х вкладывается как гладкая (n-мepная) поверхность в; и касательные векторы к Х составляют некоторое новое гладкое многообразие TX, которое называется касательным расслоением гладкого многообразия X. Вообще, векторным расслоением над топологическим пространством Х называется топологическое пространство Е, для которого задано такое непрерывное отображение p: Е ╝ Х, что для каждой точки х Î Х прообраз v (слой) является векторным пространством и существует такое открытое покрытие {Ua} пространства X, что для любого a прообраз p≈1(Ua) гомеоморфен произведению Ua ` , причём существует гомеоморфизм p≈1(Ua) ╝ Ua ` , линейно отображающий каждый слой p≈1(x), x Î Ua, на векторное пространство {х} ` . При Е = TX непрерывное отображение p сопоставляет с каждым касательным вектором точку его касания, так что слоем p≈1(x) будет пространство, касательное к Х в точке х. Оказывается, что любое векторное расслоение над компактным пространством Х определяет некоторый элемент группы KO(X). Таким образом, в частности, для любого гладкого, компактного и связного многообразия Х в группе KO(X) определён элемент, соответствующий касательному расслоению. Он называется тангенциальным инвариантом гладкого многообразия X. Имеется аналог этой конструкции для любого a. При a = p роль группы KO(X) играет некоторая другая группа, которая обозначается KPL(X), а при a = t роль этой группы играет группа, обозначаемая KTop(X). Каждое a-многообразие Х определяет в соответствующей группе [КО(Х), KPL(X) или KTop(X)] некоторый элемент, называемый его a-тангенциальным инвариантом. Имеются естественные гомоморфизмы KO(X) ╝ KPL(X) ╝ KTop(X), и оказывается, что на n-мерном (n ³ 5) компактном и связном a"-многообразии X, где a" = t, p, тогда и только тогда можно ввести a-структуру (a = р, если a" = t, и a = s, если a" = p), когда его a"-тангенциальный инвариант лежит в образе соответствующей группы . Число таких структур конечно и равно числу элементов некоторого фактормножества множества , где Ya ≈ некоторое специальным образом сконструированное топологическое пространство (при a = s топологическое пространство Ya обозначается обычно символом PL/O, а при a = p ≈ символом Top/PL). Тем самым вопрос о существовании и единственности a-структуры сводится к некоторой задаче теории гомотопий. Гомотопический тип топологического пространства PL/O довольно сложен и до сих пор (1976) полностью не вычислен; однако известно, что pi(PL/O) = 0 при i £ 6, откуда следует, что любое кусочно-линейное многообразие размерности n £ 7 сглаживаемо, а при n £ 6 единственным образом. Напротив, гомотопический тип топологического пространства Top/PL оказался удивительно простым: это пространство гомотопически эквивалентно K(ℤ2, 3). Следовательно, число кусочно-линейных структур на топологическом многообразии не превосходит числа элементов группы H 3(X, ℤ2). Такие структуры заведомо существуют, если H 4(X, ℤ2) = 0, но при H 4(X, ℤ2) ¹ 0 кусочно-линейной структуры может не существовать. В частности, на сфере S n существует единственная кусочно-линейная структура. Гладких структур на сфере S n может быть много, например, на S 7 существует 28 различных гладких структур. На торе T n (топологических произведении n экземпляров окружности S 1) существует при n ³ 5 много различных кусочно-линейных структур, которые все допускают гладкую структуру. Таким образом, начиная с размерности 5, существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные гладкие многообразия; сферы с таким свойством существуют, начиная с размерности 7. Задачу описания (с точностью до a-гомеоморфизма) всех n-мерpных (n ³ 5) связных компактных a-многообразий естественно решать в два этапа: искать условия гомотопической эквивалентности a-многообразий и условия a-гомеоморфности гомотопически эквивалентных a-многообразий. Первая задача относится к гомотопической Т. и в её рамках может считаться полностью решенной. Вторая задача также по существу полностью решена (во всяком случае для односвязных a-многообразий). Основой её решения является перенос в высшие размерности техники «разложения на ручки». С помощью этой техники удаётся, например, доказать для n-мерных (n ³ 5) топологических многообразий гипотезу Пуанкаре (связное компактное топологическое многообразие, гомотопически эквивалентное сфере, гомеоморфно ей). Наряду с a-многообразиями можно рассматривать так называемые a-многообразия с краем; они характеризуются тем, что окрестности некоторых их точек (составляющих край) a-гомеоморфны полупространству Xn ³ 0 пространства. Край является (n≈1)-мерным a-многообразием (вообще говоря, несвязным). Два n-мерных компактных a-многообразия Х и Y называются (ко) бордантными, если существует такое (n+1)-мерное компактное a-многообразие с краем W, что его край является объединением непересекающихся гладких многообразий, a-гомеоморфных Х и У. Если отображения вложения X ╝ W и Y ╝ W являются гомотопическими эквивалентностями, то гладкие многообразия называются h-кобордантными. Методами разложения на ручки удаётся доказать, что при n ³ 5 односвязные компактные a-многоооразия a-гомеоморфны, если они h-кобордантны. Эта теорема о h-кобордизме доставляет сильнейший способ установления a-гомеоморфности a-многообразий (в частности, гипотеза Пуанкаре является её следствием). Аналогичный, но более сложный результат имеет место и для неодносвязных a-многообразий. Совокупность ═классов кобордантных компактных a-многообразий является по отношению к операции связной суммы коммутативной группой. Нулём этой группы служит класс a-многообразий, являющихся краями, то есть кобордантных нулю. Оказывается, что эта группа при a = s изоморфна гомотопической группе p2n+1MO (n+1) некоторого специально сконструированного топологического пространства MO (n+1), называется пространством Тома. Аналогичный результат имеет место и при a = p, t. Поэтому методы алгебраической Т. позволяют в принципе вычислить группу. В частности, оказывается, что группа ═является прямой суммой групп ℤ2 в количестве, равном числу разбиений числа n на слагаемые, отличные от чисел вида 2m≈

Например, = 0 (так что каждое трёхмерное компактное гладкое многообразие является краем). Напротив, ═= ℤ2, так что существуют поверхности, кобордантные друг другу и не кобордантные нулю; такой поверхностью, например, является проективная плоскость P

М. М. Постников.

6. Основные этапы развития топологии

Отдельные результаты топологического характера были получены ещё в 18≈19 вв. (теорема Эйлера о выпуклых многогранниках, классификация поверхностей и теорема Жордана о том, что лежащая в плоскости простая замкнутая линия разбивает плоскость на две части). В начале 20 в. создаётся общее понятие пространства в Т. (метрическое ≈ М. Фреше, топологическое ≈ Ф. Хаусдорф), возникают первоначальные идеи теории размерности и доказываются простейшие теоремы о непрерывных отображениях (А. Лебег, Л. Брауэр), вводятся полиэдры (А. Пуанкаре) и определяются их так называемые числа Бетти. Первая четверть 20 в. завершается расцветом общей Т. и созданием московской топологической школы; закладываются основы общей теории размерности (П. С. Урысон); аксиоматике топологических пространств придаётся её современный вид (П. С. Александров); строится теория компактных пространств (Александров, Урысон) и доказывается теорема об их произведении (А. Н. Тихонов); впервые даются необходимые и достаточные условия метризуемости пространства (Александров, Урысон); вводится (Александров) понятие локально конечного покрытия [на основе которого в 1944 Ж. Дьёдонне (Франция) определил паракомпактные пространства]; вводятся вполне регулярные пространства (Тихонов); определяется понятие нерва и тем самым основывается общая теория гомологий (Александров). Под влиянием Э. Нётер числа Бетти осознаются как ранги групп гомологий, которые поэтому называются также группами Бетти. Л. С. Понтрягин, основываясь на своей теории характеров, доказывает законы двойственности для замкнутых множеств.

Во 2-й четверти 20 в. продолжается развитие общей Т. и теории гомологий: в развитие идей Тихонова А. Стоун (США) и Э. Чех вводят так называемое стоун ≈ чеховское, или максимальное, (би)компактное расширение вполне регулярного пространства; определяются группы гомологий произвольных пространств (Чех), в группы когомологий (Дж. Александер, А. Н. Колмогоров) вводится умножение и строится кольцо когомологий. В это время в алгебраической Т. царят комбинаторные методы, основывающиеся на рассмотрении симплициальных схем; поэтому алгебраическая Т. иногда и до сих пор называется комбинаторной Т. Вводятся пространства близости и равномерные пространства. Начинает интенсивно развиваться теория гомотопий (Х. Хопф, Понтрягин); определяются гомотопические группы (В. Гуревич, США) и для их вычисления применяются соображения гладкой Т. (Понтрягин). Формулируются аксиомы групп гомологий и когомологий (Н. Стинрод и С. Эйленберг, США). Возникает теория расслоений (Х. Уитни, США; Понтрягин); вводятся клеточные пространства (Дж. Уайтхед, Великобритания).

Во 2-й половине 20 в. в СССР складывается советская школа общей Т. и теории гомологий: ведутся работы по теории размерности, проблеме метризации, теории (би)компактных расширений, общей теории непрерывных отображений (факторных, открытых, замкнутых), в частности теории абсолютов; теории так называемых кардинальнозначных инвариантов (А.В. Архангельский, Б. А. Пасынков, В. И. Пономарев, Е. Г. Скляренко, Ю. М. Смирнов и др.).

Усилиями ряда учёных (Ж. П. Серр и А. Картан во Франции, М. М. Постников в СССР, Уайтхед и др.) окончательно складывается теория гомотопий. В это время создаются крупные центры алгебраической Т. в США, Великобритании и др. странах; возобновляется интерес к геометрической Т. Создаётся теория векторных расслоений и К-функтора (М. Атья, Великобритания; Ф. Хирцебрух, ФРГ), алгебраическая Т. получает широкие применения в гладкой Т. (Р. Том, Франция) и алгебраической геометрии (Хирцебрух); развивается теория (ко)бордизмов (В. А. Рохлин, СССР; Том, С. П. Новиков) и теория сглаживания и триангулируемости (Дж. Милнор, США).

Развитие Т. продолжается во всех направлениях, а сфера её приложений непрерывно расширяется.

А. А. Мальцев.

═Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.≈Л., 1948; Пархоменко А. С., Что такое линия, М., 1954; Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М.≈Л., 1947; его же, Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; Милнор Дж., Уоллес А, Дифференциальная топология. Начальный курс, пер. с англ., М., 1972; Стинрод Н., Чинн У., Первые понятия топологии, пер. с англ., М., 1967; Александров П. С., Комбинаторная топология, М.≈Л., 1947; Александров П. С., Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности, М., 1973; Александров П. С., Введение в гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную топологию, М., 1975; Архангельский А. В., Пономарев В. И, Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974; Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971; Бурбаки Н., Общая топология. Основные структуры, пер. с франц., М., 1968; его же, Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства, пер. с франц., М., 1969; его же, Общая топология. Использование вещественных чисел в общей топологии. Функциональные пространства. Сводка результатов. Словарь, пер. с франц., М., 1975; Куратовский К., Топология, пер. с англ., т. 1≈2, М., 1966≈69; Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967; Спеньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971.

Топология (значения)

Топология :

• Топология - раздел математики, изучающий в самом общем виде явление непрерывности.
• Топология - система множеств, использующаяся в определении топологического пространства.
• Сетевая топология - схема расположения и соединения сетевых устройств.

Примеры употребления слова топология в литературе.

Понтрягина, усилиями которых был создан новый раздел математики - топологическая алгебра, - изучающий различные алгебраические структуры, наделенные топологией .

И нельзя понять гистологии без гидрологии, гидрологии без геологии, геологии без географии, географии без топографии, топографии без топологии и все вместе без омнеологии, а омнеологии - без таблиц.

Мы не поняли гистологии, Мы не поняли гидрологии, гидрографии, географии, топографии, топологии .

Вообще, этот подход подразумевает документирование сетевой топологии , прикладных программ и используемых протоколов.

Так он продолжал, употребляя все более замысловатые термины, ссылаясь на топологию духа и геометрию осознаний и озарений, излагая элементы эндоскопической онтографии, климатизации эмоциональной жизни, ее уровней, экстремумов, подъемов, спадов, а также упадков духа, и болтал так долго, что охрип, а у короля разболелась голова.

Карты топологии маршрутизации почты полезны для решения проблем с передачей почты между серверами.

Аналогично, мы надеемся увидеть библиотеку разрешителя на более высоком уровне, сортирующую ответы на основе информации о топологии , существующей только на клиентском хосте.

Это означает, что сетевая топология и сегментация становится важным фактором защиты.

Ведь, в сущности, любая теория сводится к топологии образов, а любая онтология - это не более как дедуктивный комплекс универсальных образов, индуктивно привязанных к эмпирической реальности.

Чтобы создать топологию удаленных серверов, сначала определяют базы данных, к которым рабочие станции и сервера будут иметь доступ наиболее часто.

А именно - в континумальном мире топология его внутренних связей позволяет конституировать среду, в которой интерсубъективность становится функцией распределения рацональностей внутри нее.

То есть, согласно объективистской топологии корпускулярного мира проблема интерсубъективности решается в нем с помощью интерсубстанциального посредника.

Речь идет о неких топологиях пространств, проваливающихся друг в друга, выворачивающихся друг в друга, подобно тому как предстают в разных аспектах или чередуются буквы в монограмме окна.

Однако в маленьких организациях, эта топология гарантирует быстрое обновление данных.

Поскольку Вы планируете топологию , Вы должны рассмотреть и топологию движения почты и репликаций.

Связанных.
Содержание
Общая топология
Равномерная топология
Алгебраическая топология
Кусочно-линейная топология
Топология многообразий
Основные этапы развития топологии

1. Общая топология
Часть Т., ориентированная на аксиоматическое изучение непрерывности, называется общей Т. Наряду с алгеброй общая Т. составляет основу современного теоретико-множественного метода в математике.
Аксиоматически непрерывность можно определить многими (вообще говоря, неравносильными) способами. Общепринята аксиоматика, основывающаяся на понятии открытого множества. Топологической структурой, или топологией, на множестве X называют такое семейство его подмножеств, называемых открытыми множествами, что:
1) пустое множество ∅ и всё X открыты;
2) объединение любого числа и пересечение конечного числа открытых множеств открыто.
Множество, на котором задана топологическая структура, называют топологическим пространством. В топологическом пространстве X можно определить все основные понятия элементарного анализа, связанные с непрерывностью. Например, окрестностью точки x
∈ X называют произвольное открытое множество, содержащее эту точку; множество A⊂X называют замкнутым, если его дополнение XA открыто; замыканием множества A называют наименьшее замкнутое множество, содержащее A; если это замыкание совпадает с X, то A называют всюду плотным в X и т.д.
По определению, ∅ и X являются одновременно замкнутыми и открытыми множествами. Если в X нет других множеств, одновременно замкнутых и открытых, то топологическое пространство X называют связным. Наглядно связное пространство состоит из одного «куска», а несвязное - из нескольких.
Любое подмножество A топологического пространства X обладает естественной топологической структурой, состоящей из пересечений с A открытых множеств из X. Снабженное этой структурой A называют подпространством пространства X. Каждое метрическое пространство становится топологическим, если за его открытые множества принять множества, содержащие вместе с произвольной точкой некоторую её ε-окрестность (шар радиуса ε с центром в этой точке). В частности, любое подмножество n-мерного евклидова пространства |R n является топологическим пространством. Теория таких пространств (под названием «геометрической Т.») и теория метрических пространств включаются по традиции в общую Т.
Геометрическая Т. довольно четко распадается на две части: изучение подмножеств |R n произвольной сложности, подчинённых тем или иным ограничениям общего характера (примером является так называемая теория континуумов, то есть связных ограниченных замкнутых множеств), и изучение способов, какими в |R n могут быть вложены такие простые топологические пространства, как сфера, шар и т.п. (вложения в |R n , например, сфер могут быть очень сложно устроенными).
Открытым покрытием топологического пространства X называют семейство его открытых множеств, объединением которого является всё X. Топологическое пространство X называют компактным (в другой терминологии - бикомпактным), если любое его открытое покрытие содержит конечное число элементов, образующих покрытие. Классическая теорема Гейне - Бореля утверждает, что любое ограниченное замкнутое подмножество |R n компактно. Оказывается, что все основные теоремы элементарного анализа об ограниченных замкнутых множествах (например, теорема Вейерштрасса о том, что на таком множестве непрерывная функция достигает своего наибольшего значения) справедливы для любых компактных топологических пространств. Это определяет фундаментальную роль, которую играют компактные пространства в современной математике (особенно в связи с теоремами существования). Выделение класса компактных топологических пространств явилось одним из крупнейших достижений обшей Т., имеющих общематематическое значение.
Открытое покрытие {V β } называют вписанным в покрытие {U α }, если для любого β существует α такое, что V β ⊂ U α . Покрытие {V β } называют локально конечным, если каждая точка x ∈ X обладает окрестностью, пересекающейся только с конечным числом элементов этого покрытия.
Топологическое пространство называют паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие. Класс паракомпактных пространств является примером классов топологических пространств, получающихся наложением так называемых условий типа компактности. Этот класс очень широк, в частности он содержит все метризуемые топологические пространства, то есть пространства X, в которых можно ввести такую метрику
ρ, что Т., порожденная ρ в X, совпадает с Т., заданной в X.
Кратностью открытого покрытия называют наибольшее число k такое, что найдётся k его элементов, имеющих непустое пересечение. Наименьшее число n, обладающее тем свойством, что в любое конечное открытое покрытие топологического пространства X можно вписать открытое покрытие кратности ≤n + 1, обозначается символом dimX и называется размерностью X.
Это название оправдано тем, что в элементарно-геометрических ситуациях dimX совпадает с обычно понимаемой размерностью, например dim|R n = n. Возможны и др. числовые функции топологического пространства X, отличающиеся от dimX, но в простейших случаях совпадающие с dimX. Их изучение составляет предмет общей теории размерности - наиболее геометрически ориентированной части общей Т. Только в рамках этой теории удаётся, например, дать чёткое и достаточно общее определение интуитивного понятия геометрической фигуры и, в частности, понятия линии, поверхности и т.п.
Важные классы топологических пространств получаются наложением так называемых аксиом отделимости. Примером является так называемая аксиома Хаусдорфа, или аксиома T 2 , требующая, чтобы любые две различные точки обладали непересекающимися окрестностями. Топологическое пространство, удовлетворяющее этой аксиоме, называется хаусдорфовым, или отделимым. Некоторое время в математической практике встречались почти исключительно хаусдорфовы пространства (например, любое метрическое пространство хаусдорфово). Однако роль нехаусдорфовых топологических пространств в анализе и геометрии постоянно растет.
Топологические пространства, являющиеся подпространствами хаусдорфовых (би) компактных пространств, называются вполне регулярными или тихоновскими. Их тоже можно охарактеризовать некоторой аксиомой отделимости, а именно: аксиомой, требующей, чтобы для любой точки x 0
∈ X и любого не содержащего её замкнутого множества F Х существовала непрерывная функция g: Х → , равная нулю в x 0 и единице на F.
Топологические пространства, являющиеся открытыми подпространствами хаусдорфовых компактных, называются локально компактными пространствами. Они характеризуются (в классе хаусдорфовых пространств) тем, что каждая их точка обладает окрестностью с компактным замыканием (пример: евклидово пространство). Любое такое пространство дополняется одной точкой до компактного (пример: присоединением одной точки из плоскости получается сфера комплексного переменного, а из |R n - сфера S n).
Отображение f: X → Y топологического пространства X в топологическое пространство Y называют непрерывным отображением, если для любого открытого множества V ⊂ Y множество ƒ −1 (V) открыто в X. Непрерывное отображение называют гомеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и обратное отображение f −1: Y
→ X непрерывно. Такое отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между открытыми множествами топологических пространств X и Y, перестановочное с операциями объединения и пересечения множеств. Поэтому все топологические свойства (то есть свойства, формулируемые в терминах открытых множеств) этих пространств одни и те же, и с топологической точки зрения гомеоморфные топологические пространства (то есть пространства, для которых существует хотя бы один гомеоморфизм X → Y)
следует считать одинаковыми (подобно тому как в евклидовой геометрии одинаковыми считаются фигуры, которые можно совместить движением). Например, гомеоморфны («топологически одинаковы») окружность и граница квадрата, шестиугольника и т.п. Вообще любые две простые (не имеющие двойных точек) замкнутые линии гомеоморфны. Напротив, окружность не гомеоморфна прямой (ибо удаление точки не нарушает связности окружности, но нарушает связность прямой; по той же причине прямая не гомеоморфна плоскости, а окружность не гомеоморфна «восьмёрке»).
Окружность не гомеоморфна также и плоскости (выкиньте не одну, а две точки).
Пусть {X α } - произвольное семейство топологических пространств. Рассмотрим множество X всех семейств вида {x α }, где x α ∈ X α (прямое произведение множеств X α). Для любого α формула p α ({x α }) = x α определяет некоторое отображение p α: X → X α (называемое проекцией). Вообще говоря, в X можно ввести много топологических структур, относительно которых все отображения p α непрерывны.
Среди этих структур существует наименьшая (то есть содержащаяся в любой такой структуре). Снабженное этой топологической структурой множество X называется топологическим произведением топологических пространств X α и обозначается символом ΠX α (а в случае конечного числа сомножителей - символом X 1 Ч... Ч X n). В явном виде открытые множества пространства Х можно описать как объединения конечных пересечений всех множеств вида p α −1 (U α), где U α открыто в X α .
Топологическое пространство X обладает следующим замечательным свойством универсальности, однозначно (с точностью до гомеоморфизма) его характеризующим: для любого семейства непрерывных отображений ƒ α: Y → X α существует единственное непрерывное отображение ƒ : Y → X, для которого p α ∘ƒ=ƒ α при всех α. Пространство |R n является топологическим произведением n экземпляров числовой прямой. Одной из важнейших теорем общей Т. является утверждение о том, что топологическое произведение компактных топологических пространств компактно.
Если X - топологическое пространство, а Y - произвольное множество и если задано отображение p: X → Y пространства X на множество Y (например, если Y является фактормножеством X по некоторому отношению эквивалентности, а p представляет собой естественную проекцию, сопоставляющую с каждым элементом x ∈ X его класс эквивалентности),
то можно ставить вопрос о введении в Y топологической структуры, относительно которой отображение p непрерывно. Наиболее «богатую» (открытыми множествами) такую структуру получают, полагая открытыми множествами в Y все те множества V
⊂ Y, для которых множество f ‑1 (V) ⊂ X открыто в X. Снабженное этой топологической структурой множество Y называется факторпространством топологического пространства X (по отношению к p). Оно обладает тем свойством, что произвольное отображение ƒ : Y
→ Z тогда и только тогда непрерывно, когда непрерывно отображение ƒ∘p: X → Z. Непрерывное отображение p: X → Y называется факторным, если топологическое пространство Y является по отношению к p факторпространством топологического пространства X. Непрерывное отображение p: X
→ Y называется открытым, если для любого открытого множества U ⊂ X множество p(U) открыто в Y, и замкнутым, если для любого замкнутого множества F ⊂ X множество p(F) замкнуто в Y. Как открытые, так и замкнутые непрерывные отображения ƒ : X
→ Y, для которых ƒ(X) = Y, являются факторными.
Пусть X - топологическое пространство, A - его подпространство и ƒ : A → Y - непрерывное отображение. Предполагая топологические пространства X и Y непересекающимися, введём в их объединении X
∪ Y топологическую структуру, считая открытыми множествами объединения открытых множеств из X и Y. введём в пространстве X ∪ Y наименьшее отношение эквивалентности, в котором a ∼ ƒ(α) для любой точки a
∈ A. Соответствующее факторпространство обозначается символом X ∪ f Y, и о нём говорят, что оно получено приклеиванием топологического пространства X к топологическому пространству Y по A посредством непрерывного отображения ƒ. Эта простая и наглядная операция оказывается очень важной, так как позволяет получать из сравнительно простых топологических пространств более сложные. Если Y состоит из одной точки, то пространство X
∪ f Y обозначается символом Х/А и о нём говорят, что оно получено из X стягиванием A в точку. Например, если X - диск, а A - его граничная окружность, то Х/А гомеоморфно сфере.
2. Равномерная топология
Часть Т., изучающая аксиоматическое понятие непрерывности, называется равномерной Т. Известное из анализа определение равномерной непрерывности числовых функций непосредственно переносится на отображения любых метрических пространств. Поэтому аксиоматику равномерной непрерывности обычно получают, отталкиваясь от метрических пространств. исследованы два аксиоматических подхода к равномерной непрерывности, основанных соответственно на понятиях близости и окружения диагонали.
Подмножества A и B метрического пространства X называются близкими (обозначение AδB), если для любого ε > 0 существуют точки a∈A и b∈B, расстояние между которыми Принимая основные свойства этого отношения за аксиомы, приходят к следующему определению: (отделимой) структурой близости на множестве X называется такое отношение δ на множестве всех его подмножеств, что:
1) ∅δ̅X (символом δ̅ обозначается отрицание отношения δ;
2)
Aδ̅B 1 и Aδ̅B 2 ⇔ Aδ(B 1 U B 2);

3) {x} δ̅ {y} ⇔ x ≠ y;

4) если AδB, то существует такое множество Cδ̅B, что Aδ(XC).
Множество, в котором задана структура близости, называется пространством близости. Отображение пространства близости X в пространство близости Y называется близостно непрерывным, если образы близких в X множеств близки в Y. Пространства близости X и Y называются близостно гомеоморфными (или эквиморфными), если существует взаимно однозначное близостно непрерывное отображение
X → Y, обратное к которому также является близостно непрерывным (такое близостно непрерывное отображение называется эквиморфизмом). В равномерной Т. эквиморфные пространства близости рассматриваются как одинаковые. Подобно метрическим пространствам, любое пространство близости можно превратить в (хаусдорфово) топологическое пространство, считая подмножество
U⊂X открытым, если {x}δ̅(XU) для любой точки x∈U. При этом близостно непрерывные отображения окажутся непрерывными отображениями. Класс топологических пространств, получающихся описанным образом из пространств близости, совпадает с классом вполне регулярных топологических пространств. Для любого вполне регулярного пространства X все структуры близости на X, порождающие его топологическую структуру, находятся во взаимно однозначном соответствии с так называемыми компактификациями (в другой терминологии - би-компактными расширениями) bX - компактными хаусдорфовыми топологическими пространствами, содержащими X в качестве всюду плотного пространства.
Структура близости δ, соответствующая расширению bX, характеризуется тем, что AδB тогда и только тогда, когда замыкания множеств A и B пересекаются в bX. В частности, на любом компактном хаусдорфовом топологическом пространстве X существует единственная структура близости, порождающая его топологическую структуру.
Другой подход основан на том, что равномерную непрерывность в метрическом пространстве X можно определить в терминах отношения «точки x и y находятся на расстоянии, не большем ε». С общей точки зрения, отношение на X есть не что иное как произвольное подмножество U прямого произведения XЧX. Отношение «тождество» является с этой точки зрения диагональю Δ ⊂ X Ч X, то есть множеством точек вида (x, x), x∈X. Для любого отношения U определено обратное отношение U −1 = {(x,y); (y,x)
∈ U } и для любых двух отношений U и V определена их композиция U · V = {(х,y); существует z ∈ X такое, что (х, z) ∈ U, (z,y) ∈ V }. Семейство отношений {U } называется (отделимой) равномерной структурой на X (а отношения U называется окружениями диагонали), если: 1) пересечение любых двух окружений диагонали содержит окружение диагонали; 2) каждое окружение диагонали содержит
Δ, и пересечение всех окружений диагонали совпадает с Δ; 3) вместе с U окружением диагонали является и U −1 ; 4) для любого окружения диагонали U существует такое окружение диагонали W, что W o W
⊂ U. Множество, наделённое равномерной структурой, называется равномерным пространством. Отображение ƒ : X → Y равномерного пространства X в равномерное пространство Y называется равномерно непрерывным, если прообраз при отображении ƒ
Ч ƒ : X Ч X → Y Ч Y любого окружения диагонали V ⊂ Y Ч Y содержит некоторое окружение диагонали из X Ч X. Равномерные пространства X и Y называются равномерно гомеоморфными, если существует взаимно однозначное равномерно непрерывное отображение X
→ Y, обратное к которому также является равномерно непрерывным отображением.
В равномерной Т. такие равномерные пространства считаются одинаковыми. Каждая равномерная структура на X определяет некоторую структуру близости: AδВ тогда и только тогда, когда (A Ч В) ∩ U ≠ ∅ для любого окружения диагонали U ⊂ X Ч X.
При этом равномерно непрерывные отображения оказываются близостно непрерывными.
3. Алгебраическая топология
Пусть каждому топологическому пространству X (из некоторого класса) поставлен в соответствие некоторый алгебраический объект h(X) (группа, кольцо и т.п.), а каждому непрерывному отображению ƒ : X → Y - некоторый гомоморфизм h(f) : h(X)
→ h(Y) (или h(f) : h(Y) → h(X), являющийся тождественным гомоморфизмом, когда ƒ представляет собой тождественное отображение. Если h(f 1 ○ f 2) = h(f 1)
○ h(f 2) (или, соответственно, h(f 1 ○ f 2) = h(f 2) ○h(f 1), то говорят, что h представляет собой функтор (соответственно кофунктор). Большинство задач алгебраической Т. так или иначе связано со задачей распространения: для данного непрерывного отображения f: A
→ Y подпространства A ⊂ Х в некоторое топологическое пространство Y найти непрерывное отображение g: X → Y, совпадающее на A с ƒ, то есть такое, что ƒ = g·i, где i: A
→ X - отображение вложения (i(a) = а для любой точки а ∈ A). Если такое непрерывное отображение g существует, то для любого функтора (кофунктора) h существует такой гомоморфизм (φ: h(X)
→ h(Y) (гомоморфизм φ: h(Y) → h(X)), что h(f) = φ ○ h(i) (соответственно h(f) = h(i) ○ φ); им будет гомоморфизм φ = h(g). Следовательно, несуществование гомоморфизма
φ (хотя бы для одного функтора h) влечёт несуществование отображения g. К этому простому принципу могут быть фактически сведены почти все методы алгебраических Т. Например, существует функтор h, значение которого на шаре E n является тривиальной, а на ограничивающей шар сфере S n-1 - нетривиальной группой. Уже отсюда следует отсутствие так называемой ретракции - непрерывного отображения p: E n
→ S n-1 , неподвижного на S n-1 , то есть такого, что композиция р·i, где i: S n‑1 → E n - отображение вложения, представляет собой тождественное отображение (если p существует, то тождественное отображение группы h(S n-1) будет композицией отображений h(i) : h(S n-1)
→ h(E n) и h(p) : h(E n) → h(S n-1), что при тривиальной группе h(E n) невозможно). Однако этот, по существу, элементарно-геометрический и (при n = 2) наглядно очевидный факт (физически означающий возможность натянуть на круглый обруч барабан) до сих пор не удалось доказать без привлечения алгебраико-топологических методов. Его непосредственным следствием является утверждение, что любое непрерывное отображение ƒ : E n
→ E n имеет хотя бы одну неподвижную точку, то есть уравнение ƒ(x) = х имеет в E n хотя бы одно решение (если ƒ(x) ≠ x для всех x ∈ E n , то, приняв за р(x) точку из S n-1 , коллинеарную точкам ƒ(x) и x и такую, что отрезок с концами ƒ(x) и р(x) содержит x, получим ретракцию p: E n
→ S n-1). Эта теорема о неподвижной точке была одной из первых теорем алгебраической Т., а затем явилась источником целой серии разнообразных теорем существования решений уравнений.
Вообще говоря, установление несуществования гомоморфизма (φ тем легче, чем сложнее алгебраическая структура объектов h(X). Поэтому в алгебраических Т. рассматриваются алгебраические объекты чрезвычайно сложной природы, и требования алгебраической топологии существенно стимулировали развитие абстрактной алгебры.
Топологическое пространство X называется клеточным пространством, а также клеточным разбиением (или CW-комплексом), если в нём указана возрастающая последовательность подпространств X 0 ⊂...
⊂ X n-1 ⊂ X n ⊂... (называется остовами клеточного пространства X), объединением которых является всё X, причём выполнены следующие условия: 1) множество U ⊂ X тогда и только тогда открыто в X, когда для любого n множество U
∩ X n открыто в X n ; 2) X n получается из X n-1 приклеиванием некоторого семейства n-мepных шаров по их граничным (n-1)-мepным сферам (посредством произвольного непрерывного отображения этих сфер в X n-1); 3) X 0 состоит из изолированных точек. Таким образом, структура клеточного пространства состоит, грубо говоря, в том, что оно представлено в виде объединения множеств, гомеоморфных открытым шарам (эти множества называются клетками). В алгебраических Т. изучаются почти исключительно клеточные пространства, поскольку специфика задач алгебраических Т. для них уже полностью проявляется. Более того, фактически для алгебраических Т. интересны некоторые особо простые клеточные пространства (типа Полиэдров, см. ниже), но сужение класса клеточных пространств, как правило, существенно осложняет исследование (поскольку многие полезные операции над клеточными пространствами выводят из класса полиэдров).
Два непрерывных отображения f, g: X → Y называются гомотопными, если они могут быть непрерывно продеформированы друг в друга, то есть если существует такое семейство непрерывных отображений f t: X → Y, непрерывно зависящих от параметра t ∈ , что f 0 = ƒ и f 1 = g (непрерывная зависимость от t означает, что формула F(x, t) = f t (x), х ∈ X, t
∈ определяет непрерывное отображение F: X Ч → Y; это отображение, а также семейство {f t } называют гомотопией, связывающей ƒ с g). Совокупность всех непрерывных отображений
X → Y распадается на гомотопические классы гомотопных между собой отображений. Множество гомотопических классов непрерывных отображений из X в Y обозначается символом . Изучение свойств отношения гомотопности и, в частности, множеств составляет предмет так называемой гомотопической топологии (или теории гомотопий). Для большинства интересных топологических пространств множества конечны или счётны и могут быть в явном виде эффективно вычислены. Топологические пространства X и Y называются гомотопически эквивалентными, или имеющими один и тот же гомотопический тип, если существуют такие непрерывные отображения ƒ :
X → Y и g: Y → X, что непрерывные отображения g·f: X → X и f·g: Y → Y гомотопны соответствующим тождественным отображениям. В гомотопической Т. такие пространства следует рассматривать как одинаковые (все их «гомотопические инварианты» совпадают).
Оказывается, что во многих случаях (в частности, для клеточных пространств) разрешимость задачи распространения зависит только от гомотопического класса непрерывного отображения ƒ : A → Y; точнее, если для ƒ распространение g: X
→ Y существует, то для любой гомотопии f t: A → Y (с f 0 = f) существует распространение g t: X → Y такое, что g 0 = g. Поэтому вместо ƒ можно рассматривать его гомотопический класс [f] и в соответствии с этим изучать лишь гомотопически инвариантные функторы (кофункторы) h, то есть такие, что h(f 0) = h(f 1), если отображения f 0 и f 1 гомотопны. Это приводит к настолько тесному переплетению алгебраической и гомотопической Т., что их можно рассматривать как единую дисциплину.
Для любого топологического пространства Y формулы h(X) = и h(f) = [φ○f], где f: X 1 → X 2 и φ : X 2 → Y, определяют некоторый гомотопически инвариантный кофунктор h, о котором говорят, что он представлен топологическим пространством Y. Это - стандартный (и по существу единственный) приём построения гомотопических инвариантных кофункторов. Чтобы множество h(X) оказалось, скажем, группой, нужно У выбрать соответствующим образом, например потребовать, чтобы оно было топологической группой (вообще говоря, это не совсем так: необходимо выбрать в X некоторую точку x 0 и рассматривать лишь непрерывные отображения и гомотопии, переводящие x 0 в единицу группы; это техническое усложнение будет, однако, в дальнейшем игнорироваться). Более того, достаточно, чтобы Y было топологической группой
«в гомотопическом смысле», то есть чтобы аксиомы ассоциативности и существования обратного элемента (утверждающие фактически совпадение некоторых отображений) выполнялись бы только «с точностью до гомотопии». Такие топологические пространства называются Н-пространствами. Таким образом, каждое Н-пространство Y задаёт гомотопически инвариантный кофунктор h(X) = , значениями которого являются группы.
Аналогичным («двойственным») образом, каждое топологическое пространство Y задаёт по формулам h(X) = , h(f) = [ƒ ○φ], где ƒ : X 1
→ X 2 и φ : Y → X 1 , некоторый функтор h. Чтобы h(X) было группой, нужно, чтобы Y обладало определённой алгебраической структурой, в некотором точно определённом смысле двойственной структуре Н-пространства. Топологические пространства, наделённые этой структурой, называются ко-Н-пространствами. Примером ко-Н-пространства является n-мepная сфера S n (при n ≥ 1).
Таким образом, для любого топологического пространства X формула π n X = определяет некоторую группу π n X, n ≥ 1, которая называется n-й гомотопической группой пространства X. При n = 1 она совпадает с фундаментальной группой. При n > 1 группа
π n X коммутативна. Если π 1 X = {1}, то X называется односвязным.
Клеточное пространство X называется пространством K(G, n), если π i (X) = 0 при i ≠ n и π n X = G; такое клеточное пространство существует для любого n ≥ 1 и любой группы G (коммутативной при n > 1) и с точностью до гомотопической эквивалентности определено однозначно.
При n > 1 (а также при n = 1, если группа G коммутативна) пространство K(G, n) оказывается Н-пространством и потому представляет некоторую группу H n (X; G) = . Эта группа называется n-мepной группой когомологий топологического пространства X с группой коэффициентов G. Она является типичным представителем целого ряда важных кофункторов, к числу которых принадлежит, например, К-функтор KO(X) = , представляемый так называемым бесконечномерным грассманианом BO, группы ориентированных кобордизмов
Ω n X и т.п.
Если G является кольцом, то прямая сумма H*(X; G) групп H n (X; G) является алгеброй над G. Более того, эта прямая сумма обладает очень сложной алгебраической структурой, в которую (при G = Z p , где Z p - циклическая группа порядка p) входит действие на Н*(Х; G) некоторой некоммутативной алгебры p , называемой алгеброй Стинрода. Сложность этой структуры позволяет, с одной стороны, выработать эффективные (но совсем не простые) методы вычисления групп H n (X; G), а с другой - установить связи между группами H n (X; G) и другими гомотопически инвариантными функторами (например, гомотопическими группами π n X),
позволяющие часто в явном виде вычислить и эти функторы.
Исторически группам когомологий предшествовали так называемые группы гомологий H n (X; G), являющиеся гомотопическими группами π n M(X, G) некоторого клеточного пространства M(X, G), однозначно строящегося по клеточному пространству X и группе G. Группы гомологий и когомологий в определённом смысле двойственны друг другу, и их теории по существу равносильны. Однако алгебраическая структура, имеющаяся в группах гомологий, менее привычна (например, эти группы составляют не алгебру, а так называемую коалгебру), и поэтому в вычислениях обычно пользуются группами когомологий. Вместе с тем в некоторых вопросах группы гомологий оказываются более удобными, поэтому они также изучаются. Часть алгебраических Т., занимающаяся изучением (и применением) групп гомологий и когомологий, называется теорией гомологий.
Перенесение результатов алгебраических Т. на пространства более общие, чем клеточные пространства, составляет предмет так называемой общей алгебраической Т. В частности, общая теория гомологий изучает группы гомологий и когомологий произвольных топологических пространств и их применения. Оказывается, что вне класса компактных клеточных пространств различные подходы к построению этих групп приводят, вообще говоря, к различным результатам, так что для неклеточных топологических пространств возникает целый ряд различных групп гомологий и когомологий. Основное применение общая теория гомологий находит в теории размерности и в теории так называемых законов двойственности (описывающих взаимоотношения между топологическими свойствами двух дополнительных подмножеств топологического пространства), и её развитие было во многом стимулировано нуждами этих теорий.
4. Кусочно-линейная топология
Подмножество Р ∈ |R n называется конусом с вершиной а и основанием В, если каждая его точка принадлежит единственному отрезку вида ab, где b ∈ B. Подмножество X ∈ |R n называется полиэдром, если любая его точка обладает в X окрестностью, замыкание которой является конусом с компактным основанием. Непрерывное отображение ƒ : X → Y полиэдров называется кусочно-линейным, если оно линейно на лучах каждой конической окрестности любой точки x ∈ X. Взаимно однозначное кусочно-линейное отображение, обратное к которому также кусочно-линейно, называется кусочно-линейным изоморфизмом. Предметом кусочно-линейной Т. является изучение полиэдров и их кусочно-линейных отображений. В кусочно-линейной Т. полиэдры считаются одинаковыми, если они кусочно-линейно изоморфны.
Подмножество X ∈ |R n тогда и только тогда является (компактным) полиэдром, когда оно представляет собой объединение (конечного) семейства выпуклых многогранников. Любой полиэдр может быть представлен в виде объединения Симплексов, пересекающихся только по целым граням. Такое представление называют триангуляцией полиэдра. Каждая триангуляция однозначно определена её симплициальной схемой, то есть множеством всех её вершин, в котором отмечены подмножества, являющиеся множествами вершин симплексов. Поэтому вместо полиэдров можно рассматривать лишь симп-лициальные схемы их триангуляций. Например, по симплициальной схеме можно вычислять группы гомологий и когомологий. Это делается следующим образом:
а) симплекс, вершины которого определённым образом упорядочены, называется упорядоченным симплексом данной триангуляции (или симплициальной схемы) К; формальные линейные комбинации упорядоченных симплексов данной размерности n с коэффициентами из данной группы G называются n-мepными цепями; все они естественным образом составляют группу, которая обозначается символом C n (K; G);
б) выбросив из упорядоченного n-мерного симплекса σ вершину с номером i, 0 ≤ i ≤ n, получим упорядоченный (n-1)-мерный симплекс, который обозначается символом σ (i) ; цепь
∂σ = σ (0) −σ (1) + ... +(−1) n σ (n) называется границей σ; по линейности отображение ∂ распространяется до гомоморфизма ∂ : C n (K; G) → C n-1 (K; G);
в) цепи c, для которых ∂c = 0, называются циклами, они составляют группу циклов Z n (K; G);
г) цепи вида ∂c называются границами, они составляют группу границ B n (K; G);
д) доказывается, что B n (K; G) ⊂ Z n (K; G) (граница является циклом); поэтому определена факторгруппа
H n (K; G) = Z n (K; G)/ B n (K; G).
Оказывается, что группа H n (K; G) изоморфна группе гомологий H n (X; G) полиэдра X, триангуляцией которого является К. Аналогичная конструкция, в которой исходят не из цепей, а из коцепей (произвольных функций, определённых на множестве всех упорядоченных симплексов и принимающих значения в G), даёт группы когомологий.
С этой конструкции, изложенной в несколько модифицированной форме, и началось по существу становление алгебраической Т. В первоначальной конструкции рассматривались так называемые ориентированные симплексы (классы упорядоченных симплексов, отличающихся чётными перестановками вершин). Эта конструкция развита и обобщена в самых разнообразных направлениях. В частности, её алгебраические аспекты дали начало так называемой гомологической алгебре.
Самым общим образом симплициальную схему можно определить как множество, в котором отмечены некоторые конечные подмножества («симплексы»), причём требуется, чтобы любое подмножество симплекса было снова симплексом. Такая симплициальная схема является симплициальной схемой триангуляции некоторого полиэдра тогда и только тогда, когда число элементов произвольного отмеченного подмножества не превосходит некоторого фиксированного числа. Впрочем, понятие полиэдра можно обобщить (получив так называемые «бесконечномерные полиэдры»),
и тогда уже любая симплициальная схема будет схемой триангуляции некоторого полиэдра (называемого её геометрической реализацией).
Произвольному открытому покрытию {U α } каждого топологического пространства X можно сопоставить симплициальную схему, вершинами которой являются элементы U α покрытия и подмножество которой тогда и только тогда отмечено, когда элементы покрытия, составляющие это подмножество, имеют непустое пересечение. Эта симплициальная схема (и соответствующий полиэдр) называемому нервом покрытия. Нервы всевозможных покрытий в определённом смысле аппроксимируют пространство X и, исходя из их групп гомологий и когомологий, можно посредством соответствующего предельного перехода получать группы гомологий и когомологий самого X. Эта идея лежит в основе почти всех конструкций общей теории гомологий. Аппроксимация топологического пространства нервами его открытых покрытий играет важную роль и в общей Т.
5. Топология многообразий
Хаусдорфово паракомпактное топологическое пространство называется n-мерным топологическим многообразием, если оно «локально евклидово», то есть если каждая его точка обладает окрестностью (называемой координатной окрестностью, или картой), гомеоморфной топологическому пространству |R n . В этой окрестности точки задаются n числами x 1 ,
..., x n , называемыми локальными координатами. В пересечении двух карт соответствующие локальные координаты выражаются друг через друга посредством некоторых функций, называемых функциями перехода. Эти функции задают гомеоморфизм открытых множеств в |R n , называются гомеоморфизмом перехода.
Условимся произвольный гомеоморфизм между открытыми множествами из |R n называть t-гомеоморфизмом. Гомеоморфизм, являющийся кусочно-линейным изоморфизмом, будем называть p-гомеоморфизмом, а если он выражается гладкими (дифференцируемыми любое число раз) функциями, - s-гомеоморфизмом.
Пусть α = t, p или s. Топологическое многообразие называется α-многообразием, если выбрано такое его покрытие картами, что гомеоморфизмы перехода для любых его двух (пересекающихся) карт являются α-гомеоморфизмами. Такое покрытие задаёт α-структуру на топологическом многообразии X.
Таким образом, t-многообразие - это просто любое топологическое многообразие, p-многообразия называются кусочно-линейными многообразиями. Каждое кусочно-линейное многообразие является полиэдром. В классе всех полиэдров n-мерные кусочно-линейные многообразия характеризуются тем, что любая их точка обладает окрестностью, кусочно-линейно изоморфной n-мерному кубу. s-многообразия называются гладкими (или дифференцируемыми) многообразиями. α-отображением α-многообразия называются называется при α = t произвольное непрерывное отображение, при α = s - произвольное кусочно-линейное отображение, при α = s - произвольное гладкое отображение, то есть непрерывное отображение, записывающееся в локальных координатах гладкими функциями.
Взаимно однозначное α-отображение, обратное к которому также является α-отображением, называется α-гомеоморфизмом (при α = s также диффеоморфизмом), α-многообразия X и Y называются α-гомеоморфными (при α = s - диффеоморфными), если существует хотя бы один
α-гомеоморфизм X → Y.
Предметом теории α-многообразий является изучение α-многообразий и их α-отображений; при этом α-гомеоморфные α-многообразия считаются одинаковыми. Теория s-многообразий является частью кусочно-линейной Т. Теория s-многообразий называется также гладкой Т.
Основной метод современной теории многообразий состоит в сведении её задач к проблемам алгебраических Т. для некоторых нужным образом сконструированных топологических пространств. Эта тесная связь теории многообразий с алгебраической Т. позволила, с одной стороны, решить много трудных геометрических проблем, а с другой - резко стимулировала развитие самой алгебраической Т.
Примерами гладких многообразий являются n-мерные поверхности в |R n , не имеющие особых точек. Оказывается (теорема вложения), что любое гладкое многообразие диффеоморфно такой поверхности (при N ≥ 2n + 1). Аналогичный результат верен и при α = t, p.
Каждое p-многообразие является t-многообразием. Оказывается, что на любом s-многообразии можно некоторым естественным образом ввести p-структуру (которая называется обычно у айтхедовской триангуляцией). Можно сказать, что любое α-многообразие, где α = p или s, является α’-многообразием, где α’ = t или p.
Ответ на обратный вопрос: на каких α’-многообразиях можно ввести α-структуру (такое α ’-многообразие при α’ = p называется сглаживаемым, а при α’ = t - триангулируемым),
а если можно, то сколько? - зависит от размерности n.
Существует только два одномерных топологических многообразия: окружность S 1 (компактное многообразие) и прямая линия |R (некомпактное многообразие). Для любого α = p, s на t-многообразиях S 1 и |R существует единственная α-структура.
Аналогично, на любом двумерном топологическом многообразии (поверхности) существует единственная α-структура, и можно легко описать все компактные связные поверхности (некомпактные связные поверхности также могут быть описаны, но ответ получается более сложный). Для того чтобы поверхности были гомеоморфны, достаточно, чтобы они были гомотопически эквивалентны. При этом гомотопический тип любой поверхности однозначно характеризуется её группами гомологий. Существует два типа поверхностей: ориентируемые и неориентируемые. К числу ориентируемых принадлежит сфера SІ и тор TІ. Пусть X и Y - два связных n-мерных α-многообразия.
Вырежем в X и Y по шару (при n = 2 - диску) и склеим получившиеся граничные сферы (при n = 2 - окружности). При соблюдении некоторых само собой разумеющихся предосторожностей в результате снова получим α-многообразие.
Оно называется связной суммой α-многообразий X и Y и обозначается X#Y. Например, TІ#TІ имеет вид кренделя. Сфера S n является нулём этого сложения, то есть S n #X = Х для любого X. В частности, SІ#TІ = TІ. Оказывается, что ориентируемая поверхность гомеоморфна связной сумме вида SІ#TІ#
...#TІ, число p слагаемых TІ называется родом поверхности. Для сферы p = 0, для тора p = 1 и т. д. Поверхность рода p можно наглядно представлять себе как сферу, к которой приклеено p «ручек».
Каждая неориентируемая поверхность гомеоморфна связной сумме |RPІ#... #|RPІ некоторого числа проективных плоскостей |RPІ. Её можно представлять себе как сферу, к которой приклеено несколько Мебиуса листов.
На каждом трёхмерном топологическом многообразии при любом α = p, s также существует единственная α-структура и можно описать все гомотопические типы трёхмерных топологических многообразий (однако групп гомологий для этого уже недостаточно). В то же время до сих пор (1976) не описаны все (хотя бы компактные связные) гипотезы Пуанкаре, неизвестно.
Замечательно, что для компактных и связных топологических многообразий размерности n ≥ 5 ситуация оказывается совсем иной: все основные задачи для них можно считать в принципе решенными (точнее, сведёнными к проблемам алгебраической Т.). Любое гладкое многообразие X вкладывается как гладкая (n-мepная) поверхность в IR N и касательные векторы к X составляют некоторое новое гладкое многообразие TX, которое называется касательным расслоением гладкого многообразия X. Вообще, векторным расслоением над топологическим пространством X называется топологическое пространство Е, для которого задано такое непрерывное отображение
π : Е → X, что для каждой точки x ∈ X прообраз v (слой) является векторным пространством и существует такое открытое покрытие {U α } пространства X, что для любого α прообраз
π −1 (U α) гомеоморфен произведению U α Ч |R n , причём существует гомеоморфизм π −1 (U α) → U α Ч |R n , линейно отображающий каждый слой
π −1 (x), x ∈ U α , на векторное пространство {х} Ч |R n . При Е = TX непрерывное отображение π сопоставляет с каждым касательным вектором точку его касания, так что слоем
π −1 (x) будет пространство, касательное к X в точке x. Оказывается, что любое векторное расслоение над компактным пространством X определяет некоторый элемент группы KO(X). Таким образом, в частности, для любого гладкого, компактного и связного многообразия X в группе KO(X) определён элемент, соответствующий касательному расслоению. Он называется тангенциальным инвариантом гладкого многообразия X. Имеется аналог этой конструкции для любого α.
При α = p роль группы KO(X) играет некоторая другая группа, которая обозначается KPL(X), а при α = t роль этой группы играет группа, обозначаемая KTop(X). Каждое α-многообразие X определяет в соответствующей группе [КО(Х), KPL(X) или KTop(X)] некоторый элемент, называемый его α-тангенциальным инвариантом.
Имеются естественные гомоморфизмы KO(X) → KPL(X) → KTop(X), и оказывается, что на n-мерном (n ≥ 5) компактном и связном α-многообразии X, где α = t, p, тогда и только тогда можно ввести α-структуру (α = p, если α = t, и α = s, если α = p), когда его α-тангенциальный инвариант лежит в образе соответствующей группы .
Число таких структур конечно и равно числу элементов некоторого фактормножества множества , где Y α - некоторое специальным образом сконструированное топологическое пространство (при α = s топологическое пространство Y α обозначается обычно символом PL/O, а при α = p - символом Top/PL).
Тем самым вопрос о существовании и единственности α-структуры сводится к некоторой задаче теории гомотопий. Гомотопический тип топологического пространства PL/O довольно сложен и до сих пор (1976) полностью не вычислен; однако известно, что
π i (PL/O) = 0 при i ≤ 6, следует, что любое кусочно-линейное многообразие размерности n ≤ 7 сглаживаемо, а при n ≤ 6 единственным образом. Напротив, гомотопический тип топологического пространства Top/PL оказался удивительно простым: это пространство гомотопически эквивалентно K(ℤ 2 , 3).
Следовательно, число кусочно-линейных структур на топологическом многообразии не превосходит числа элементов группы H і(X, ℤ 2). Такие структуры заведомо существуют, если H 4 (X, ℤ 2)
= 0, но при H 4 (X, ℤ 2) ≠ 0 кусочно-линейной структуры может не существовать.
В частности, на сфере S n существует единственная кусочно-линейная структура. Гладких структур на сфере S n может быть много, например, на S 7 существует 28 различных гладких структур. На торе T n (топологических произведении n экземпляров окружности S 1) существует при n ≥ 5 много различных кусочно-линейных структур, которые все допускают гладкую структуру.
Таким образом, Первая эквивалентное сфере, гомеоморфно ей).
Наряду с α-многообразиями можно рассматривать так называемые α-многообразия с краем; они характеризуются тем, что окрестности некоторых их точек (составляющих край) α-гомеоморфны полупространству X n ≥ 0 пространства |R n . Край является (n-1)-мерным α-многообразием (вообще говоря, несвязным).
Два n-мерных компактных α-многообразия X и Y называются (ко) бордантными, если существует такое (n+1)-мерное компактное α-многообразие с краем W, что его край является объединением непересекающихся гладких многообразий, α-гомеоморфных X и У.
Если отображения вложения X → W и Y → W являются гомотопическими эквивалентностями, то гладкие многообразия называются h-кобордантными. Методами разложения на ручки удаётся доказать, что при n ≥ 5 односвязные компактные α-многоооразия α-гомеоморфны, если они h-кобордантны.
Эта теорема о h-кобордизме доставляет сильнейший способ установления α-гомеоморфности α-многообразий (в частности, гипотеза Пуанкаре является её следствием). Аналогичный, но более сложный результат имеет место и для неодносвязных α-многообразий.
Совокупность n классов кобордантных компактных α-многообразий является по отношению к операции связной суммы коммутативной группой. Нулём этой группы служит класс α-многообразий, являющихся краями, то есть кобордантных нулю. Оказывается, что эта группа при α = s изоморфна гомотопической группе π 2n+1 MO (n+1) некоторого специально сконструированного топологического пространства MO (n+1), называется пространством Тома.
Аналогичный результат имеет место и при α = p, t. Поэтому методы алгебраической Т. позволяют в принципе вычислить группу α n . В частности, оказывается, что группа s n является прямой суммой групп ℤ 2 в количестве, равном числу разбиений числа n на слагаемые, отличные от чисел вида 2 m -1. Например, s 3 = 0 (так что каждое трёхмерное компактное гладкое многообразие является краем).
Напротив, s 2 = ℤ 2 , так что существуют поверхности, кобордантные друг другу и не кобордантные нулю; такой поверхностью, например, является проективная плоскость |RP І.
М. М. Постников.
6. Основные этапы развития топологии
Отдельные результаты топологического характера были получены ещё в 18-19 вв. (теорема Эйлера о выпуклых многогранниках, классификация поверхностей и теорема Жордана о том, что лежащая в плоскости простая замкнутая линия разбивает плоскость на две части). В начале 20 в. создаётся общее понятие пространства в Т. (метрическое - М. Фреше, топологическое - Ф. Хаусдорф), строится Под влиянием Э. (би)компактное расширение вполне регулярного пространства; определяются группы гомологий произвольных пространств (Чех), в группы когомологий (Дж. теория гомотопий (Х. Хопф, Понтрягин); определяются гомотопические группы (В. во Франции, М. М. Постников в СССР, Уайтхед и др.) окончательно складывается теория гомотопий. В это время создаются крупные центры алгебраической Т. в США, и триангулируемости (Дж. Милнор, США). А, Дифференциальная топология. Начальный курс, пер. с англ., М., 1972; Стинрод Н., Чинн У., Первые понятия топологии, пер. с англ., М., 1967; Александров П. С., Комбинаторная топология, М.-Л., 1947; Александров П. С., Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности.
Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности, М., 1973; Александров П. С., Введение в гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную топологию, М., 1975; Архангельский А. В., Пономарев В. И, Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974; Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971; Бурбаки Н., Общая топология. Основные структуры, пер. с франц., М., 1968; его же, Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства, пер. с франц., М., 1969; его же, Общая топология.